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벡터와 텐서 2: 공변벡터와 반변벡터
    김관석  (Homepage) 2020-01-01 19:34:01, 조회수 : 188
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4. Covariant and contravariant vector component 공변벡터와 반변벡터 성분

     4.1 Coordinate-sytem tranformation 좌표계 변환       
     ∘  좌표축 회전에 의한 vector 성분의 변화는 도식적인 간단한 기하학을 사용하거나(Figure 4.2), 해석적으로 내적을 사용해 구합니다.
        이와 같은 vector 성분의 변환은 "역(inverse)" 또는 "수동적(passive)" 변환이라 불리웁니다.

     4.2 Basis-vector tranformation 기저벡터 변환
     ∘  Figure 4.8 처럼 기저벡터를 다른 좌표축을 따르는 새 기저벡터로 변환하는 이 역시 기하학이나 해석적으로 쉽게 구할 수 있습니다.
        이와같은 vector 성분의 변환은 "직접(direct)" 또는 "능동적(active)" 변환이라 불리웁니다.

     4.3 Basis-vector vs. component tranformation 기저벡터 대 성분 변환  
     ∘  좌표계가 각 𝜃 만큼  회전했을 경우에 같은 vector의 성분을 구하는 변환 행렬은 다음과 같습니다.
           ⌈  cos(𝜃)   sin(𝜃) ⌉
           ⌊ -sin(𝜃)   cos(𝜃) ⌋
     ∘  원 기저벡터를 각 𝜃 만큼  회전했을 경우에 새 기저벡터를 구하는 변환 행렬은 다음과 같습니다.
           ⌈  cos(𝜃) -sin(𝜃) ⌉
           ⌊  sin(𝜃)   cos(𝜃) ⌋
     ∘ 위의 두개의 행렬을 곱해보면 그들 간의 관계의 성질(nature)이 드러나게 됩니다.  
           ⌈  cos(𝜃)   sin(𝜃) ⌉  ⌈  cos(𝜃) -sin(𝜃) ⌉  =   ⌈  1  0  ⌉
           ⌊ -sin(𝜃)   cos(𝜃) ⌋  ⌊ sin(𝜃)   cos(𝜃) ⌋       ⌊  0  1  ⌋
       이것은 성분-변환 행렬은 기저벡터 변환 행렬의 "역(행렬)"인 것을 의미합니다.

     4.4 Non-orthogonal coordinate system 비직교 좌표계
     ∘ 데카르트 좌표계의 경우 위의 두가지 변환이 모호하므로 더 일반적인 비직교 좌표계릐 경우를 검토하기로 하겠습니다.
     ∘ Figure 4.13 에서 평행하게(antiparallel) 빛을 투과하는 식으로 성분을 구하면 𝐀는 합의 법칙이 만족함을 알 수 있습니다.  

     4.5 Dual basis vector 쌍대기저벡터
     ∘ 평행-투사 성분과 기저벡터의 관계식은. 𝐀 = 𝐴x𝐞1 + 𝐴y𝐞2 이며, 𝐴x와 𝐴y는 평행-투사(반변 contvariant) 성분을 나타냅니다.
     ∘ Figure 4.14 에서 다른 축에 직교하게 빛을 투과하는 식으로 성분을 구하면 𝐀도 역시 합의 법칙이 만족함을 알 수 있습니다.  
     ∘ 직교-투사 성분과 쌍대기저벡터의 관계식은. 𝐀 = 𝐴x𝐞1 + 𝐴y𝐞2 이며, 𝐴x와 𝐴y는 지교-투사(반공변 cotvariant) 성분을 나타냅니다.
       여기서의 기저벡터들은 "역(reciprocal)-" 또는 "쌍대(dual)-" 기저벡터라고 불리우며 두가지의 정의 상의 특성을 갖습니다.
       첫번째는 각각은 다른 지수의 원 기저벡터와 직교하여야만 하며, 둘째는 같은 지수의 원 기저벡터와의 내적이 일이라는 것입니다..
       수식으로 나타내면, 𝐞1 ∘ 𝐞1 = 1,  𝐞2 ∘ 𝐞2 = 1. 따라서 ∣𝐞1∣ = 1/(∣𝐞1∣ cos 𝜃1),   ∣𝐞2∣ = 1/(∣𝐞2∣ cos 𝜃2).  (4.21,22)  
       삼차원에는,  𝐞1 = 𝐞2 ⨯ 𝐞3 /𝐞1 ∘ (𝐞2 ⨯ 𝐞3),   𝐞2 = 𝐞3 ⨯ 𝐞1 /𝐞1 ∘ (𝐞2 ⨯ 𝐞3),   𝐞3 = 𝐞1 ⨯ 𝐞2 /𝐞1 ∘ (𝐞2 ⨯ 𝐞3).  (4.24)
     ∘ 가장 중요한 사실은 하나의 vector가 두가지로 표현될 수 있다는 것입니다. 즉,  𝐀 = 𝐴x𝐞1 + 𝐴y𝐞2 = 𝐴x𝐞1 + 𝐴y𝐞2.  (4.25)

     4.6 Finding covarian and contravariant components 공변성분과 반변성분 구하기 <- 비직교 좌표계 이차원의 경우  
     ∘ [기하학적 접근법] 평행-투사 도해방법으로,  𝐴1, 𝐴2 성분과 기저벡터 𝐞1, 𝐞2의 길이 및 𝐞1, 𝐞2와의 각도 𝜃1과 𝜃2를 구한 후에,
        ∣𝐞1∣ = 1/(∣𝐞1∣ cos 𝜃1),  ∣𝐞2∣ = 1/(∣𝐞2∣ cos 𝜃2) 식으로 𝐞1, 𝐞2의 길이를 구하고, 아는 𝜃1과 𝜃2를 사용하여 𝐴1과 𝐴1를 구합니다.
     ∘ [해석적 접근법] 𝐴x = 𝐴1𝐞1.x + 𝐴2𝐞2.x,  𝐴y = 𝐴1𝐞1.y + 𝐴2𝐞2.y 식에서 미지수 𝐴1과 𝐴2를 구합니다. 다음  ∣𝐞1∣, ∣𝐞1∣ 을 산정하고,
       직교-투사 도해법에서 𝐞1, 𝐞2와의 각도 𝜃1과 𝜃2를 구한 후에, 𝐴x = 𝐴1𝐞1.x + 𝐴2𝐞2.x,  𝐴y = 𝐴1𝐞1.y + 𝐴2𝐞2.y 방정식을 풉니다.
     ∘ [내적 접근법] 일단 원 기저벡터와 새 기저벡터를 구한 다음에는 다음 관계식을 사용하는 것이 더욱 간단합니다.
        𝐴1 = 𝐀 ∘ 𝐞1 = 𝐴x𝐞1.x + 𝐴y𝐞1.y,  𝐴2 = 𝐀 ∘ 𝐞2 = 𝐴x𝐞2.x + 𝐴y𝐞2.y,  𝐴1 = 𝐀 ∘ 𝐞1 = 𝐴x𝐞1x + 𝐴y𝐞1y,   𝐴2 = 𝐀 ∘ 𝐞2 = 𝐴x𝐞2x + 𝐴y𝐞2y 

     4.7 Index notation 지수 표기
     ∘ 아인슈타인이 제안한 합규약(summation convention)은 "수학의 위대한 발견"이란 조크처럼 많은 지면과 시간을 절약해 줍니다.
       𝐴'𝑖 =  ∑3𝑗=1𝑎𝑖𝑗𝐴𝑗,  𝑖 = 1,2,3    ↔    𝐴'𝑖 = 𝑎𝑖𝑗𝐴𝑗  (4.47,48)  <-  '𝑗': 합지수(dummy index), '𝑖': 자유지수(free index)

    4.8 Quantities that transform contravariantly 반변적으로 변환하는 양
     ∘ d𝑥'1 = (∂𝑥'1/∂𝑥1)d𝑥1 + (∂𝑥'1/∂𝑥2)d𝑥2 + (∂𝑥'1/∂𝑥3)d𝑥3
       d𝑥'2 = (∂𝑥'2/∂𝑥1)d𝑥1 + (∂𝑥'2/∂𝑥2)d𝑥2 + (∂𝑥'2/∂𝑥3)d𝑥3  ↔   d𝑥'𝑖 = (∂𝑥'𝑖/∂𝑥𝑗)d𝑥𝑗  (4.50,53)
       d𝑥'3 = (∂𝑥'3/∂𝑥1)d𝑥1 + (∂𝑥'3/∂𝑥2)d𝑥2 + (∂𝑥'3/∂𝑥3)d𝑥3
     ∘ ∂𝑥'𝑖/∂𝑥𝑗인 원 좌표축에 접하는 기저벡터들의 성분들로서, 변환된 성분 𝐴'𝑖 = (∂𝑥'𝑖/∂𝑥𝑗)𝐴𝑖  (4.54)  <- 반변성분의 정의

    4.9 Quantities that transform covariantly 공변적으로 변환하는 양
     ∘ ∂𝑓/∂𝑥'1 = (∂𝑓/∂𝑥1)(∂𝑥1/∂𝑥'1) + (∂𝑓/∂𝑥1)(∂𝑥2/∂𝑥'1) + (∂𝑓/∂𝑥1)(∂𝑥3/∂𝑥'1)
       ∂𝑓/∂𝑥'2 = (∂𝑓/∂𝑥1)(∂𝑥1/∂𝑥'2) + (∂𝑓/∂𝑥1)(∂𝑥2/∂𝑥'2) + (∂𝑓/∂𝑥1)(∂𝑥3/∂𝑥'2)   ↔  ∂𝑓/∂𝑥'𝑖 = (∂𝑓/∂𝑥𝑗)(∂𝑥𝑗/∂𝑥'𝑖)   (4.61)
       ∂𝑓/∂𝑥'3 = (∂𝑓/∂𝑥1)(∂𝑥1/∂𝑥'3) + (∂𝑓/∂𝑥1)(∂𝑥2/∂𝑥'3) + (∂𝑓/∂𝑥1)(∂𝑥3/∂𝑥'3)
     ∘ ∂𝑥𝑗/∂𝑥'𝑖인 원 좌표 표면(surface)에 수직인 기저벡터들의 성분들로서, 변환된 성분 𝐴'𝑖 = (∂𝑥𝑗/∂𝑥'𝑖)𝐴𝑖  (4.62)  <- 공변성분의 정의
     ∘ vector는 좌표계 간의 변환에 있어서 양적으로 예측가능하게 변환하며 모든 vector는 반변성분과 공변성분응 모두를 함께 갖습니다.
       반변성분은 기저벡터에 반대 방식(manner)으로 원래 좌표축을 따라서 변화하며, 공변성분은 기저벡터와 같은 방식으로 변화합니다.
       가장 중요하게는 원래 기저벡터와 반변성분이 결합하거나, 쌍대(dual)기저벡터와 공변성분이 결합하여 결과한 양(vector 그 자체)이
       모든 좌표 변환을 통해 "불변하게" 남아 있습니다. 이것이 vector가 tensor의 차수(rank) 1에 속하도록 자격을 주는 특성인 것입니다.
       또한, scalar는 하나의 숫자로서 지수가 없으므로 차수 0에 속합니다. (차수 2이상의 tensor는 다음에 나옵니다.)   

p.s. 'A Student's Guide to Vectors and Tensors'(Daniel A. Fleisch 2012, Cambridge University Press) Chapter 4 내용입니다.
       최근 공개강좌-KOCW에서 이희원 교수의 '중력과 상대론'을 발견했는데, 진도가 약간 빠르고 어렵지만 '고급 강의'로 여겨집니다.
       그중에 네번째 강의가 공변벡터와 반변벡터이고, 이후 리만 텐서를 포함한 일반 상대론 강의들이 큰 도움이 될 것 같습니다~


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