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특수상대성 역학 II-1. 4-벡터; 동력학 [u. 3/2021]
    김관석  2018-07-05 06:34:14, 조회수 : 22,398
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Special Relativistic Mechanics(특수상대성 역학)

* 앞으로는 상대성이론에서 일반화 된 시간 대신 광속 c (299792458m/s) = 1 단위 거리(units length)로 환산하는 질량-길이 시스템 ML(mass-length) system을 주로 사용합니다.*

5.1  4벡터(Four-Vectors)

4-벡터(four-vectors)란 4차원 시공간 벡터이며 그림처럼 시간성(timelike), 공간성(spacelike), 널(null) four-vectors가 있으며, 널4-벡터는 비유클리드 기하에서 길이가 0입니다.
앞으로 간혹 그냥 벡터(vector)라고 할 때에도 보통 4-벡터(four-vectors)를, 기저벡터(basis vector)는 기저 4-벡터basis four-vectors를 가르키는 것으로 간주하시기 바랍니다.

        𝐚 = at𝐞t + ax𝐞x + ay𝐞y + az𝐞z   <5-1>  <-  '𝐚'와 같이 굵은 글자(boldface letters)는 벡터, '𝐞'는 기저벡터(basis vectors).
        𝐚 = a0𝐞0 + a1𝐞1 + a2𝐞2 + a3𝐞3   <5-2>  
        3α=0 aα𝐞α   <5-3>  <-  아래와 같이 Einstein summation convention(아인슈타인 합산 규약)으로 표기 가능
        𝐚 = aα𝐞α   <5-4>  <-  Greek indices: 0~3 합산, Roman indices: 1~3 합산 [Hartle책의 경우, Landau-Lifshitz책에서는 반대임.]
        at'= γ(at - Vax/c2),   ax'= γ(ax - Vat/c2),   ay'= ay,    az'= az,   γ = (1 - V2/c2)-1/2   <5-9>   <- Lorentz Boost of a Vector)  
        𝐚 ∙ 𝐛 = (aα𝐞α) ∙ (bβ𝐞β) = (𝐞α ∙ 𝐞β) aα bβ   <5-11>
        ηαβ ≡ 𝐞α ∙ 𝐞β   <5-13>
        𝐚 ∙ 𝐛 = ηαβ aα bβ   <5-5>
        (Δs) ² =  Δ𝑥 ∙ Δ𝑥   <5-14>
                  ┃-1   0   0   0 ┃
        ηαβ =  ┃ 0   1   0   0 ┃   <5-15>   <- 평평한 시공간의 계량(Mertic of Flat Spacetime)
                  ┃ 0   0   1   0 ┃
                  ┃ 0   0   0   1 ┃
         ²  = ηαβdxα dxβ                                    <5-8>
        𝐚 ∙ 𝐛 = -at bt + ax bx + ay by + az bz   <5-17a>
        𝐚 ∙ 𝐛 = -a0 b0 + a1 b1 + a2 b2 + a3 b3   <5-17b>

참고로, Landau-Lifshitz § 6. Four-vectors 에서는 Hartle책과 달리 4-vector의 두 type의 요소들(elements)을 도입합니다.
        x0 = ct,   x1 = x,   x2 = y,   x3 = z  ->   ds² =  (x0)2 - (x1)2 - (x2)2 - (x3)2.     <- Landau-Lifshitz책은 timelike interval을 사용.
        𝐴0 = γ(𝐴'0 + V/c𝐴'1),  𝐴1 = γ(𝐴'1 + V/c𝐴'0), 𝐴2 =         𝐴'2, 𝐴3 = 𝐴'3   (6.1)     <- <5-9>와 같은 벡터의 로렌츠 부스트인데 관성계 순서가 다른 식임.
        (radius of 𝐴)2  ⇒  (𝐴0)2 - (𝐴1)2 - (𝐴2)2 - (𝐴3)2. 여기서  𝐴𝑖 contravariant element(반변 요소)와 𝐴𝑖 covariant element(공변 요소)를 도입합니다.
        𝐴0= 𝐴0,   𝐴1= -𝐴1,   𝐴2= -𝐴2,   𝐴3= -𝐴3   (6.2)
        𝐴𝑖𝐴𝑖 =  𝐴0𝐴0 +  𝐴1𝐴1 + 𝐴2𝐴2 +         𝐴3𝐴3.                                     
        𝐴𝑖𝛣𝑖 =  𝐴0𝛣0 +  𝐴1𝛣1 + 𝐴2𝛣2 +         𝐴3𝛣3.                                       <-  𝐴𝑖𝛣𝑖: 4-scala,  관성계간에서 불변하는 양.

5.2  특수상대성 운동학(Special Relativistic Kinematics)

위 두번째 그림은 단순히 가속된(simple accelerated)의 세계선의 예로서 고유시간 𝜏로서 매개변수적으로 표시된 세계선을 보여줍니다. [화살표 𝐮는 아래의 4-velocity)]

        xα = xα(τ)  <- 𝜏: 고유시간(proper time)   <5-21>
        t(σ) = a-1sinh(σ),   x(σ) = a-1cosh(σ)   <5-22>  
        dτ2 = -ds2 = dt2 - dx² = [a-1cosh(σ)dσ]2 - [a-1sinh(σ)dσ]2 = (a-1dσ)2   <5-23>   <- cosh2(σ) - sinh2(σ) = 1
        t(τ) = a-1sinh(aτ),   x(τ) = a-1cosh(aτ)   <5-24>

위 세번째 그림은 앞에서 말한 입자의 세계선(particle's worldline)의 곡선에서 두번째 그림에서와 마찬가지로 접선벡터(tangent vector 𝐮를 보여주고 있습니다.

        uα = dxα /d𝜏   <5-25>   <-  𝐮: 4-velocity)
        ut = dt/d𝜏 = 1 / √ (1 - V2/c2) = γ   <5-26>   
        ux = dx/d𝜏 = dx/dt dt/d𝜏 = 𝑉x / √ (1 - V2/c2) = γ 𝑉x  <5-27>
        uα = (γc, γ𝑉) = γ(c, 𝑉)  <5-28>   <-  𝑉 = (𝑉x, 𝑉y, 𝑉z): 입자의 3-velocity
        𝐮 ∙ 𝐮 = -1   [Normalization of four-velocity]   <5-29>   <- 4-vector의 normalization(규격화)
왜냐하면 𝐮 ∙ 𝐮 = -γ2 + (γ/c)2 V2 = -1/(1- V2/c2) + V2/[c2(1- V2/c2)] = - (1 - V2/c2)/(1 - V2/c2) = -1
        𝐮 ∙ 𝐮 = ηαβ [dxα /d𝜏] [dxβ /d𝜏] = -1   <5-30>
참고로, Landau-Lifshitz § 7 Four-dimensional velocity 에서는 𝐮𝑖 ∙ 𝐮𝑖 = 1   (7.3).     <- Landau-Lifshitz책은 timelike interval을 사용  

5.3  특수상대성 동력학(Special Relativistic Dynamics)

<운동 방정식(Equation of Motion)>

        d𝐮/d𝜏 = 0   <5-34>  <- Newton's First Law(뉴톤의 제1법칙) ∵ <5-22>에서 V가 등속임으로
        𝐚 ≡ d𝐮/d𝜏   <5-36> <- 𝐚: four-acceleration
        𝐟 = 𝑚 d𝐮/d𝜏   <5-37>  <- Newton's Second Law(뉴톤의 제2법칙)
        𝐟 ∙ 𝐮 = 0   <5-39>  <- d(𝐮 ∙ 𝐮) /d𝜏 = 0,   𝐮 ∙ 𝐚 = 0.
위 두번째 그림에서 가속도의 크기(the magnitude of acceleration):
        (𝐚 ∙ 𝐚)1/2 = a      <5-30>  <- at ≡ dut/d𝜏 = a sinh(a𝜏),  ax ≡ dux/d𝜏 = a cosh(a𝜏),  cosh2(aτ) - sinh2(aτ) = 1.

<에너지-운동량(Energy-Momentum)>

        𝐏 = 𝑚0 𝐮 = 𝑚0γ(c, 𝑉) = (-𝑚c, 𝑝)     <5-41> <-  𝐏: 4-monentum
        d𝐏/dτ = 𝐟   <5-42>
        𝐏2 ≡ 𝐏 ∙ 𝐏 = -𝑚2c2 + 𝑝2   <5-43>
        pt = 𝑚γc,  𝑝 = 𝑚γ𝑉   <5-44>
        pt = 𝑚c + 1/2 𝑚𝑉2/c + ...,      𝑃  = 𝑚𝑉 + ...   <5-35> 
왜냐하면 빛의 속도보다 아주 느릴 때, 𝑉 ≪ 1, γ의 테일러 급수(Tayler's series): (1+x)-1/2 = 1 - 1/2x + 3/8 x2 - ..., [x = -𝑉2/c2]
        pα = (pt, 𝑃) = (𝑚γc,  𝑚γ𝑉)   <5-46>  <-  𝐸: 에너지(energy) 𝐸 ≡ ptc = 𝑚γc2 *
        𝐸 = 𝑚c2 [when 𝑝 = 0]   <5-47> <-  in MLT system, when particle is at rest.  'The Most Famous Equation in Relativity or Physics'    
        𝐸 = (𝑚2c4 + 𝑝2c2)1/2   <5-48>                          
        d𝑃 /dt ≡ 𝐹   <5-49> <-  𝐹: 3-force),  Newton's Third Law(뉴톤의 제3법칙)
        𝐟 = (γ 𝐹 ∙ 𝑉, γ 𝐹)   <5-40> <-   d𝑃/dτ = (d𝑃/dt) (dt /dτ) = 𝐹 γ.
        d𝐸 /dt = 𝐹 ∙ 𝑉   <5-41>

요약한다면, 뉴톤 역학(Newtonian mechanics)은 특수상대성 역학(Special relativistc mechanics)의 낮은 속도에서의 근사인 것입니다.

※ 참고로, 나중에 상대론적 양자역학에서 아주 유용하게 쓰일 에너지와 운동량과의 관계식을 정리하면  
        𝐏2 = 𝑚02c2 = 𝑚2c2 - 𝑝 2   (S1)   <- 특수상대성에 의한 불변량(invariant) 𝐏2, 𝑚0: 정지상태의 질량
  그리고 𝐸 = 𝑚c2 라는 사실을 이용하면 다음을 얻습니다.
        𝐸2 = 𝑝2c2 + 𝑚02c4,   𝑝2 = c2(𝑚2 - 𝑚02)   (S2)   

* 에너지 관계식 유도 (학부용 교재 A. Beiser Concepts of Modern Physics 6th edition McGraw-Hil 2003 pp. 26-27)    
        KE = 0s  𝐟 ds
        KE = 0s d(γ𝑚𝑉)/dt ds = 0𝑉 𝑉 d(γ𝑚𝑉) = 0𝑉 𝑉 d(𝑚𝑉/√(1 - V2/c2)
           이 부분적분 공식 (∫ x dy = xy - ∫ y dx) 을 이용해서 장리하면,
        KE = 𝑚c2//√(1 - V2/c2) - 𝑚c2 = (γ - 1)𝑚c2
           이 결과는 한 물체의 운동에너지 KE는 γ𝑚c2와 𝑚c2의 차이를 가르키므로 전체 에너지 𝐸는
        𝐸  = γ𝑚c2 = 𝑚c2 + KE = 𝐸0 + KE  따라서 정지한 물체의 에너지 𝐸0
        𝐸0 = 𝑚c2,    𝐸 = 𝑚c2/√(1 - V2/c2)
 추가로 대학원 수준의 Landau-Lifshitz의 라그랑지안(Lagrangian)을 사용한 추론은 [§ 8 참조]
        𝑆 = -𝛼 ab ds     <- 최소작용의 원리(principle of least action)
        𝑆 = t1t2 𝐿 dt      <-  𝐿: 리그랑지언(Lagrange function)
        ds2 = c2dt'2 = c2dt2 - dx2 - dy2 - dz2
        ds = cdt' = cdt√[1 - (dx2 + dy2 + dz2)/c2dt2] = cdt√(1 - V2/c2)
        그러므로 𝐿 = -𝛼c√(1 - V2/c2) ≈ -𝛼c + 𝛼V2/2c     <- 테일러 급수 사용
        이를 고전역학적 표현 𝐿 = 𝑚V2/2 과 비교함으로써 𝛼 = 𝑚c 를 구합니다. 그러므로,
        𝐿 = -𝑚c2√(1 - V2/c2) ≈ -𝑚c2 + 𝑚V2/2     <- 𝐿 = KE - PE  PE: 퍼텐셜에너지
        에너지 𝐸 = 𝐏 • V - 𝐿   (𝐏 • V = 2KE) 이므로 𝐸 = 𝑚c2/√(1 - V2/c2) ≈ 𝑚c2 +  𝑚V2/2
        따라서, V = 0 일 때 𝐸0 = 𝑚c2

참고문헌 Landau, L.D.; Lifshitz, E.M. (1980)[1939] The Classical Theory of Fields (4th ed.) Butterworth-Heinemann            
               Hartle, J.B. (2003) Gravity: An Introduction to Einstein’s General Relativity, Addison-Wesley


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