기본 페이지 포트폴리오 대한민국의 전통건축 중국과 일본의 전통건축 서유럽과 미국의 건축 국역 청오경 현대 우주론 대한민국의 산풍경 백두대간 종주산행 네팔 히말라야 트레킹 몽블랑 지역 트레킹 요세미티 캐년 등 티베트 실크로드 야생 생물 파노라마사진 갤러리 클래식 레코드 갤러리 AT 포럼 트레킹 정보 링크


 로그인  회원가입

특수상대성(SR) 역학 II-2: 측지선; 광선 등
    김관석  (Homepage) 2018-07-05 06:34:56, 조회수 : 235
- Download #1 : SR4.jpg (84.5 KB), Download : 0



5.4 자유입자 운동의 변분 원리(Variational Principle for Free Particle Motion)

첫번째 그림은 시간성으로 분리된(timelike seperated) 두 점들 사이를 움직이는 자유입자의 세계선은 그들 사이의 고유시간(proper time)을 극치화한다(extremize)는 것입니다.
뉴톤 역학의 법칙은 극치화된 작용의 원리(the principle of extremal action)로 불리우는 변분 원리(variational principle)로서 공식화 되는데, 상대론적 역학에서도 같은 방식이 적용됩니다.
잘 이해해야 하는데, 그 과정은 먼저 고유시간의 식을 작성한 다음에 그 식을 오일러-라그랑주 방정식(Euler-Lagrange equatuion)을 이용해 운동 방정식(motion eqation)을 찾으면 됩니다.

τAB = ∫(from A to B) dτ = ∫(from A to B) [dt² - dx² - dy² -dz²]1/2                                     <5-42>
τAB = ∫(from A to B) dσ = [(dt/dσ)²  - (dx/dσ)²- (dy/dσ)² - (dz/dσ)²]1/2                         <5-43> <- σ = 0 at A point, σ = 1 at B point
d(∂𝐹/∂𝑦')/d𝑥 - ∂𝐹/∂𝑦 = 0  [오일러-라그랑주 방정식(Euler-Lagrange equatuion)]    <5-44> <-  𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦') 함수의 극치화(exremization), 상세한 내용과 증명은 위키백과를 참조
𝐹 ↦ L = [(dt/dσ)²  - (dx/dσ)²- (dy/dσ)² - (dz/dσ)²]1/2,   𝑥 ↦ σ,  𝑦 ↦ xα,  𝑦' ↦ dxα/dσ    <5-45>
d(∂L/∂dxα/dσ)/d𝑥 - ∂L/∂xα = 0,  ∂L/∂xα = 0,  d(∂L/∂dxα/dσ)/d𝑥 = 0                                <5-46> <-  ∵ L은 xα와 독립적(independant)이므로
d(∂L/∂dxα/dσ)/d𝑥, L ↦ √ (dxα/dσ)², d[(1/L) * (dxα/ dσ)] = 0                                        <5-47> <-  m ↦ dxα/dσ,  d[(1/2 √ m²) * m²/dσ]/dσ,  d[(1/2 √ m²) * 2m * (dm/dσ)]/dσ
d²xα/dτ²  = 0  [AB사이의 직선 세계선(Straight world line between A and B)]       <5-48> <-  L = dτ/dσ 이므로, 양변에 (dσ/dτ)² 를 곱하여 dσ를 소거함.

즉, 자유입자의 평평한 시공간에서의 세계선은 고유시간을 극치화한 곡선인 것입니다. (이를 관성 좌표계의 시공간에서의  측지선-geodesic-이라 부를 수 있습니다.)

5.5 광선(Light Rays)

정지 질량 제로 입자들(Zero Rest Mass Particles)

정지 잘량이 없고 𝑉 = 1인 광속으로 움직이는 입자에 대해 생각해 본다면, 빛의 양자(quanta of light)와 중력(gravity)-광자(photons), 중력자(gravitons)와 몇몇 중성미자(nutrinos)가 예입니다.
여기서는 비양자적인 양상(nom-quatum aspects)에서의 광선(light rays)이라고도 불리우는 광자들(photons)에 대해서만 촛점을 맞추지만 광속으로 움직이는 다른 입자들에도 적용됩니다.

𝑥 = 𝑡,  𝑉 = 1,  τ(proper time) = -√ ds² = 0              <5-48>  <- ∴ 고유시간 τ이 0이라서 매개변수(parameter)로 사용할 수 없음.
𝑥α = 𝑢α λ                                                           <5-49>  <-  λ 는 다른 매개변수(parameter),  𝑢α = (1,1,0,0) [t = 1, x = 1]
𝐮 ∙ 𝐮 = 0                                                           <5-50>  <-  ∵ 접선벡터(tangent vector) 𝐮 의 요소인 𝑢α = d𝑥α/ dλ 인데,  𝐮 는 널 벡터(null vector)이므로
d𝐮 /dλ = 0                                                        <5-51>  <-   광선(light ray)의 움직임의 방정식, 입자의 운동 방정식인 <5-26> d𝐮/dτ = 0 과 유사함..

여기의 광선에 대한 운동 방정식에 사용되는 매개변수 λ 는 입자를 위한 매개변수와 같은 것으로서 아핀 매개변수(affine parameters)라고 부릅니다.  

에너지, 운동량, 주파수 그리고 파동 벡터(Energy, Momentum, Frequency and Wave Vector)

광자(photons)와 중성미자(neutrinos)는 에너지와 3-운동량(three momentum)을 가집니다. 플랑크-아인슈타인 관계식에 의해서 각 관성계에서 의 광자에너지 𝐸 는 각진동수 ω 와 연관됩니다.

𝐸 = h 𝑣 = ħ ω   [Planck-Einstein relations]            <5-52>  <-   h: 플랑크 상수,  𝑣: 주파수,  ħ: 디랙 상수(Dirac's constant), ω: 각진동수(angular frequency),  𝑣 = ω/2π,  ħ = h/2π
𝑃 = ħ 𝐾                                                             <5-53>  <-  <5-36>에서 𝑃 = 𝐸 𝑽, ∣𝑽∣ = 1,  ∴ ∣𝑃∣ = 𝐸,  𝐾: 파동 3-벡터(wave three vector), ∣𝐾∣ = ω,  ω (Omega 오메가) 소문자
pα = (𝐸, 𝑃) = (ħ ω, ħ 𝐾 ) = ħ kα                             <5-54>  <-  𝐤: 파동 4-벡터(wave four vector)
𝐩 ∙ 𝐩 = 𝐤 ∙ 𝐤 = 0                                                  <5-55>
d𝐩 /dλ = 0,  d𝐤 /dλ = 0                                       <5-56>  <-   λ: 아핀 매개변수(affine parameter)

광자(photons)는 0 의 정지 질량을 갖고, 4-벡터 𝐩, 𝐤 는 널(null) 세계선의 접하며, 접선벡터 𝐮 는 아핀 매객변수 λ 의 규격화normalization)를 조정함으로써 𝐩, 𝐤 와 일치시킬 수 있게 됩니다.

도플러 편이와 상대론적 비밍[분사출](Doppler shift and Relativistic Beaming)

사방으로 ω 의 (각)진동수로 광자를 분출하고 있는 광원이 있는 계와 이와 x'축 방향으로 속도 V로 움직이는 관성계를 생각해보면 역시 로렌츠 부스트(Lorentz Boost)로서 관계식이 성립합니다.
이 경우에  x'축과 α'의 각도를 이루는 한 광자(a phonton)의 진동수(주파수 frequency)는 어떠할까를 살펴보기로 합시다.

ω = γ (ω' - V kx' )                                              <5-57>  <-  <5-54>에 따라 파동 4-벡터 𝐤 의 kα = (ω, 𝐾),  k'α = (ω', 𝐾') 라고 하면
ω' = ω √ (1 - V²) / (1- V cos α')                         <5-58>  <-  상대론적 도플러 편이(Relativistic Doppler Shift}
ω' ≈ ω (1 + V cos α')                                        <5-59>  <-  V가 작을 때, 1/(1 - x) = 1 + x + x² + ...,   (∣x∣<1),  매클로린 급수(Maclaurin series)

α'= 0 이면 Δω = + V ω 이므로 청색편이(blue shift)이, α'= π 이면 Δω = - V ω 이므로 적색편이(red shift)이, α'= π/2 이면 <5-58>에 따라 횡단 적색편이(tansverse red shift)가 됩니다!
위의 두번째 그림은 V = 0.75c 의 상대론적 비밍 현상을 보여줍니다. 원래는 같은 길이인 화살표의 벡터들이 도플러 효과때문에 짧아지고(적색편이), 길어지며(청색편이), 각각 방향들도 변화합니다.

cos α'= (cos α + V) / (1 + V cos α)                     <5-60>  <-   x(x')축과 α(α')의 각도를 이루며 방출되는 광자의 cos α = kx/ ω,  cos α' = kx'/ ω',  로렌츠 변환(Lorentz Transformation)됨.

균일하게 빛을 내는 물체가 우리에게 다가올 때가 멀어질 때보다 도플러 효과에 의해 강도(intencity)가 더 집중되어 더 밝게 보이는 것을 상대론적 비밍(Relativistic Beaming)*이라 부릅니다.

5.6 관측자와 관측(Observers and Observations)

위의 세번째 그림에서 가속되고 있는 세계선의 한 지점(world point)에서 국소 실험실(local laboratory)로서 직교하는 시간 차원과 3방향의 공간 차원의 𝐞𝟘, 𝐞𝟙, 𝐞𝟚, 𝐞𝟛 기저 4-벡터를 갖습니다.

𝐞𝟘 = 𝐮obs                                                            <5-61>   <-   𝐮obs: 관측자의 4-속도 벡터(Observer's four-velocity vector),  세계점에서의 단위 접선벡터(unit tangent vector at world point)
𝐩 = pα𝐞α                                                             <5-62>
p𝟘 = -𝐩 ∙ 𝐞𝟘,  p𝟙 = 𝐩 ∙ 𝐞𝟙,  p𝟚 = 𝐩 ∙ 𝐞𝟚,  p𝟛 = 𝐩 ∙ 𝐞𝟛       <5-63>   <-   기저 벡터들은 상호간 직교(orthoonal)하므로 점곱(dot product)을 하면 스스로의 요소만이 남음.

위의 네번째 그림은 한 입자가 그대로 정지해 있으면서(at rest) 관측자는 속도 V로 움직일 때, 관측자의 4-속도 벡터를 따라 4-운동량 중의 입자의 에너지(energy)를 측정하는 경우의 도해입니다.
                                                          
𝐩 = (m, 0, 0, 0)                                                    <5-63>   <-   m: 정지 질량(rest mass)
𝐞𝟘 = 𝐮obs = (γ, Vγ, 0, 0)                                         <5-64>  
𝐸  = -𝐩 ∙ 𝐞𝟘 = -𝐩 ∙ 𝐮obs = m γ                                  <5-65>  
  
즉, 움직이는 관측자가 측정한 정지한 입자의 에너지는 결국 관측자의 시간축 기저벡터 𝐞𝟘를 따르는 그 입자의 에너지-운동량 4-벡터(energy- momentum 4-vector)의 요소인 것입니다..

참고문헌 Landau, L.D.; Lifshitz, E.M. (1980)[1939] The Classical Theory of Fields (4th ed.) Butterworth-Heinemann            
               Hartle, J.B. (2003) Gravity: An Introduction to Einstein’s General Relativity, Addison-Wesley

p.s. 특수상대성의 수학은 기초 수준이므로 '개념'을 잘 파악하면 되지만, 일반상대성은 '고등 수학'-미분기하학과 텐서해석을 바탕으로 합니다.
       여기서는 측지선을 찾는 변분법의 '오일러-라그랑주 방정식'이 가장 높은 난이도를 지닌 수리물리학이므로 별도의 학습이 필요합니다.
       * 초급 영어인 beaming을 전공자만 알 수 있는 '분사출(噴射出)'로 번역해서 기억하는 것은 넌센스인 듯해서 발음대로 표기함.


Name
Spamfree

     여기를 클릭해 주세요.

Password
Comment

  답글쓰기   목록보기
번호 제               목 이름 연관 날짜 조회
공지  현대 우주론에 관한 논의의 장    김관석 1 2017-08-15
11:36:55
523
87  Dirac의 일반상대성(GR) 14: 리치텐서 ... under construction ...    김관석 1 2020-01-22
08:59:01
184
86  1/20 홍천 군업리의 오리온성운~    김관석 1 2020-01-20
23:28:21
86
85  벡터와 텐서 1: 기본 정의; 벡터 연산    김관석 4 2020-01-06
03:24:55
290
84    벡터와 텐서 2: 공변벡터와 반변벡터    김관석 4 2020-01-06
03:24:55
290
83      벡터와 텐서 3: 공변미분; One-form    김관석 4 2020-01-06
03:24:55
290
82        벡터와 텐서 4: Riemann 곡률텐서; 보충    김관석 4 2020-01-06
03:24:55
290
81  2019년 노벨상 - Peebles의 물리적 우주론    김관석 1 2019-10-14
19:30:49
184
80  일반상대성(GR) 1: 등가원리; 중력과 곡률    김관석 5 2019-09-06
09:38:00
1111
79    일반상대성(GR) 2: 뉴톤 중력론의 재검토    김관석 5 2019-09-06
09:38:00
1111
78      일반상대성(GR) 3: 특수상대성; 측지선    김관석 5 2019-09-06
09:38:00
1111
77        일반상대성(GR) 4: 아인슈타인 장방정식    김관석 5 2019-09-06
09:38:00
1111
76          일반상대성(GR) 5: Schwarzschild 해 등    김관석 5 2019-09-06
09:38:00
1111
75  미분기하학 1: 곡선; Gauss 곡률; 곡면    김관석 4 2019-06-16
16:55:58
1543
74    미분기하학 2: 제일기본형식; 제이기본형식    김관석 4 2019-06-16
16:55:58
1543
73      미분기하학 3: Gauss 곡률 II; 측지선  [1]  김관석 4 2019-06-16
16:55:58
1543
72        미분기하학 4: Riemann 곡률텐서; 다양체    김관석 4 2019-06-16
16:55:58
1543
71  5/28 홍천 군업리의 은하수^^    김관석 1 2019-05-30
01:20:31
212
70  텐서 해석 I-1: Dyad와 텐서의 연산    김관석 5 2019-07-02
16:01:21
3298
69    텐서 해석 I-2: 텐서 미적분; 좌표변환 I    김관석 5 2019-07-02
16:01:21
3298
68      텐서 해석 II-1: 일반 좌표계 텐서의 연산    김관석 5 2019-07-02
16:01:21
3298
67        텐서 해석 II-2: 좌표변환 II; 일반 좌표계 미분    김관석 5 2019-07-02
16:01:21
3298
66          텐서 해석 II-3: 동일 적분; 미분기하학    김관석 5 2019-07-02
16:01:21
3298
65  Verlinde의 '중력과 우주의 암흑에 관한 새 견해'    김관석 1 2019-02-03
21:27:44
225
64  상대성 이론의 학습 과정  [1]  김관석 1 2018-07-15
15:31:25
265
63  특수상대성(SR) I-1: 간격; 시간 지연    김관석 4 2018-07-05
06:34:56
1004
62    특수상대성(SR) I-2: Lorentz 변환    김관석 4 2018-07-05
06:34:56
1004
61      특수상대성(SR) 역학 II-1: 4-벡터; 동력학    김관석 4 2018-07-05
06:34:56
1004
       특수상대성(SR) 역학 II-2: 측지선; 광선 등    김관석 4 2018-07-05
06:34:56
1004
59  Maxwell 방정식과 전자기파의 속도    김관석 1 2018-06-22
00:35:54
804
58  사십여년만의 수학 학습~    김관석 1 2018-04-21
18:16:20
315

    목록보기   다음페이지     글쓰기 1 [2][3]
    

Copyright 1999-2020 Zeroboard / skin by zero & Artech