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일반상대성 원리(GR)는 텐서 방정식(tensor equation)이므로 이를 이해하려면 tensor를 학습하여야만 합니다. 그 기초로서,
vector란 수학/물리학에서 크기와 방향을 갖는 기하적 객체(geometric object)이며, scalar란 크기만을 갖는 객체(object)입니다.
vector space Rⁿ 이란 vector들이 서로 더해지거나, scalar와의 곱셈이 가능한 집합을 가리키며, 이때 n개의 성분을 갖습니다.
I-1 Tensor의 개념
tensor란 개념적으로는 '정의된 좌표계(coordinate system)의 성분을 갖도록 한 vector의 확장'이라고 할 수 있습니다.
이는 tensor로 표기된 모든 방정식과 법칙들이 '좌표계 간의 이동과 회전 등의 각종 변환에 대한 불변성'을 유자하기 위함입니다.
특정 tensor가 정의되어 있는 좌표계는 선형 독립한(linearly independent) basis(기저) tensor들로써 식별할 수 있습니다.
* 선형 독립(linear independence): 한 vector space에 속하는 vector의 집합에서 어떤 vector라도 다른 vector들의
linear combination(선형 결합)으로 정의할 수 없는 경우를 말합니다. ↦ 𝐀: matrix of vectors, det 𝐀 ≠ 0 ※
I-2 Tensor의 차수(order)
Tensor u = u1e1 + u2e2 + ... + unen [en: unit baisis tensor(단위 기저 텐서), ∥en∥= 1] * Cartesian 좌표계
N차 tensor는 3차원에서는 3n개의, 일반적 M차원에서는 Mn개의 basis tensors와 성분(componets)을 갖습니다..
0차 tensor는 한개의 성분을 갖는 scalar이며, 1차 tensor는 vector로서 3차원에서는 3^1 = 3개의 성분을 갖으며,
2차 tensor σij는 M차원에서 M^2개의 성분을 가지므로 3차원에서 3^2 = 9개, 4차원에서 4^2 = 16개의 성분을 갖습니다.
⌈ σ11 σ12 σ13 ⌉
Tensor σ = [σij] =┃σ21 σ22 σ23┃ (i, j = 1, 2, 3)
⌊ σ31 σ32 σ33 ⌋
I-3 Tensor의 지수(index)
Tensor는 차수와 같은 숫자의 지수(index)를 가집니다. 즉, 2차는 2개, 3차는 3개, 4차는 4개의 지수(예: Cijkl)를 가집니다.
Tensor의 연산은 1차 tensor인 vector의 경우와 유사하게 되는데, 다만 그 지수(index)는 꼭 일치해야만 합니다. 예) Cjk = Ajk + Bjk
* Einstein's summation convention (아인슈타인 합의 규약)
a) Tensor로 표기된 식에서 중복 지수(dummy index)는 합의 기호(∑)를 대치합니다. 예) Akk = ∑ A kk(k=1,2,3) = A11 + A22 + A33
b) 같은 항에서 중복 지수는 2개를 넘을 수 없습니다. 예) v = ϵijk ai bj cj [j가 3개라 틀림] ⇒ v = ϵ𝑖𝑗𝑘 ai bj ck
* Free index rule (자유 지수 규칙)
Tensor 방정식에서 양쪽 변의 자유 지수(free index) 는 동일해야 합니다. 예) tk = σjk nk [틀림] ⇒ tj = σ jk nk
I-3 특별한 종류의 Tensor
a) Kronecker delta: δij = 0 (i ≠ j), 1 (i = j) <- 나중에 나오는 unit tensor(단위 텐서)의 지수 표기임.
δ11 = 1 δ12 = 0 δ13 = 0
δ21 = 0 δ22 = 1 δ23 = 0
δ31 = 0 δ32 = 0 δ33 = 1
Kronecker delta는 결합된 다른 tensor의 동일한 지수를 자신의 다른 지수로 대치하는 중요한 역할의 성질을 갖습니다.
예1) δjk xj = xk 예2) δim δjn Tmn = Tij
b) Alternating tensor (Permutation symbol 순환 기호): 𝑒𝑖𝑗𝑘 = 1 (123, 231, 312), -1 (321, 213, 132), 0 (이외의 경우)
예) ej k k = ej 11 + ej 22 + ej 33 = 0 + 0 + 0 = 0. ∵ 각기 모두가 이외의 경우이므로
c) Tensor와 Cartesian 좌표계:
예) Carttesian 좌표계 2차 tensor
⌈ σ11 σ21 σ31 ⌉ ⌈ σxx σyx σ zx ⌉
Tensor σ = [σij] = ┃σ21 σ22 σ23┃ = ┃σyx σyy σyz┃
⌊ σ31 σ32 σ33 ⌋ ⌊ σzx σzy σ zz ⌋
I-4 Tensor의 기본 연산
a) Dot product (내적)
a ∙ b = (ai 𝐞i) ∙ (bj 𝐞j) = ai bj 𝐞i ∙ 𝐞j = ai bj δij = ai bi * 𝐞: unit basis vector; δij ≡ 𝐞i ∙ 𝐞j <- kronecker delta 정의
b) Cross product (외적)
a x b = (ai 𝐞i) x (bj 𝐞j) = ai bj 𝐞i x 𝐞j
┃𝐞1 𝐞2 𝐞3┃
a x b = det ┃a1 a2 a3┃ = e𝑖𝑗𝑘 a i bj 𝐞k <- cross(outer) product 정의; ∴ 𝐞i x 𝐞j = 𝑒𝑖𝑗𝑘 𝐞k <- !
┃b1 b2 b3┃
c) Triple dot product (삼중 내적)
┃a1 a2 a3┃ ┃a1 b1 c1┃
(a x b) ∙ c = det ┃b1 b2 b3┃ = det ┃a2 b2 c2┃ = 𝑒𝑖𝑗𝑘 ai bj ck; 𝑒𝑖𝑗𝑘 ≡ (𝐞i x 𝐞j) ∙ 𝐞k<- permutation symbol 정의
┃c1 c2 c3┃ ┃a3 b3 c3┃
I-5 Dyad의 개념과 연산
a) Dyad와 dyad product(dyad 곱)
dyad란 두 vector의 곱으로 이루어진 2차 tensor를 말하며, 이때의 곱을 dyad product라 합니다. ↦ a ⊗ b, 혹은 a b
dyad란 2차 tensor로서 components와 basis dyad로 구성됩니다. ↦ a ⊗ b = ai bj 𝐞i ⊗ 𝐞j = T = Tij 𝐞i ⊗ 𝐞j
b) Basis dyad(기저 dyad)
⌈ 1 ⌉ ⌈ 0 1 0 ⌉
각각의 unit basis vector product이므로, 예) 𝐞1 ⊗ 𝐞2 = ┃0┃ [ 0 1 0 ] = ┃0 0 0┃, 전부를 계산해 보면 ...
⌊ 0 ⌋ ⌊ 0 0 0 ⌋
⌈ 1 0 0 ⌉ ⌈ 0 1 0 ⌉ ⌈ 0 0 1 ⌉
𝐞1 ⊗ 𝐞1 = ┃0 0 0┃, 𝐞1 ⊗ 𝐞2 = ┃0 0 0┃, 𝐞1 ⊗ 𝐞3 =┃0 0 0┃
⌊ 0 0 0 ⌋ ⌊ 0 0 0 ⌋ ⌊ 0 0 0 ⌋
⌈ 0 0 0 ⌉ ⌈ 0 0 0 ⌉ ⌈ 0 0 0 ⌉
𝐞2 ⊗ 𝐞1 = ┃1 0 0┃, 𝐞2 ⊗ 𝐞2 = ┃0 1 0┃, 𝐞2 ⊗ 𝐞3 =┃0 0 1┃
⌊ 0 0 0 ⌋ ⌊ 0 0 0 ⌋ ⌊ 0 0 0 ⌋
⌈ 0 0 0 ⌉ ⌈ 0 0 0 ⌉ ⌈ 0 0 0 ⌉
𝐞3 ⊗ 𝐞1 = ┃0 0 0┃, 𝐞3 ⊗ 𝐞2 = ┃0 0 0┃, 𝐞3 ⊗ 𝐞3 =┃0 0 0┃
⌊ 1 0 0 ⌋ ⌊ 0 1 0 ⌋ ⌊ 0 0 1 ⌋
c) Unit dyad(단위 dyad)
⌈ 1 0 0 ⌉
I = ┃0 1 0┃ = δij 𝐞i ⊗ 𝐞j = 𝐞i ⊗ 𝐞i
⌊ 0 0 1 ⌋
d) Dyad 연산 <- [Wikipedia] 'Dyadics' 'Tensor product' [link]
∘ Dyad & vector dot product: (a ⊗ b) ∙ c = a (b ∙ c), c ∙ (a ⊗ b) = (c ∙ a) b, a ∙ (b ⊗ c) ∙ d = (a ∙ b)(c ∙ d)
∘ Dyad & vector cross product: (a ⊗ b) X c = a (b X c), c X (a ⊗ b) = (c X a) b
∘ Dyad & dyad dot product: (a ⊗ b) ∙ (c ⊗ d) = (b ∙ c) (a ⊗ d)
∘ Dyad double dot product: (a ⊗ b) ∶ (c ⊗ d) = (a ∙ c) (b ∙ d)
I-6 Tensor의 특성과 연산
a) Tensor dot product(점곱)
∘ Contraction(축약): index(지수)를 중복해서 합하면 order(차수)가 2차 낮아짐. 예) 𝐀 - 2차 tensor, 𝐀kk- 0차 tensor, scalar
2차 tensor의 dot product -> 2차 tensor, 2차 tensor의 double product -> 0차 tensor
∘ Tensor의 성분 구하기: 해당 basis vector를 dot product를 수행함. 예) 𝐀 ∙ 𝐞i = Aij 𝐞i ⊗ 𝐞j∙ 𝐞i = Aij 𝐞i δji = Ai1+ Ai2+ Ai3
∘ 2차 tensor의 dot product: 𝐀2 = 𝐀 ∙ 𝐀, 𝐀3 = 𝐀 ∙ 𝐀 ∙ 𝐀
b) Unit(단위) tensor
∘ 2차 unit tensor: 𝐈 = δij 𝐞i ⊗ 𝐞j, 𝐈 ∙ 𝐚 = 𝐈
∘ Trace(대각합): 𝐀 : 𝐈 = tr(𝐀) = 𝐀kk, tr(𝐀) = tr(𝐀T) = Aij, 𝐀 ∶ 𝐁 = Aij Bij, tr(𝐀2) = tr(𝐀 ∙ 𝐀) = 𝐀 ∶ 𝐀 = Aij Aij
∘ Tensor의 크기: ∥𝐀∥= √ (𝐀 ∶ 𝐀) = √ tr𝐀2 = √ Aij Aij
c) Tensor의 inverse(역)
∘ Tensor와 matrix(행렬): tensor의 inverse 𝐀-1 혹은 [Aij]-1, 𝐀 ∙ 𝐀-1 = 𝐈
∘ Determinant: det 𝐀, minor determinant: 𝑀ij, cofactor: Ȃ = (-1)i+j 𝑀ij,
det 𝐀T = det 𝐀, det (𝐀 𝐁) = (det 𝐀)(det 𝐁), det 𝐀-1 = 1 / det 𝐀
∘ Inverse matrix(역행렬): 𝐀-1 = (Ȃ)T/det 𝐀 <-※, (𝐀-1)-1 = 𝐀, (𝐀T)-1 = (𝐀-1)T
∘ Orthogonal tensor(직교 텐서): 𝐀-1 = 𝐀T, 𝐀 ∙ 𝐀-1 = 𝐀 ∙ 𝐀T = 𝐈
d) Eigenvalue(고유값)의 문제
(𝐀 - λ𝐈) ∙ 𝐱 = 0 λ: eigenvalue, 𝐱: eigenvector
det (𝐀 - λ𝐈) = 0
λ3 - 𝐼 λ2 + 𝐼𝐼 λ2 - 𝐼𝐼𝐼 = 0
𝐼 = tr𝐀 = Aij, 𝐼𝐼 = 1/2 [ (tr𝐀 )2 - (tr(𝐀 2)] = 1/2 [(Aii Ajj - Aij Aij)], 𝐼𝐼𝐼 = det 𝐀 = 𝑒𝑖𝑗𝑘 A1i A2j A3k
e) Determinant와 permutaion symbol(순환 기호)
∘ det 𝐀 = det [Aij] = 𝑒𝑖𝑗𝑘 A1i A2j A3k = 𝑒ijk Ai1 Aj2 Ak3
∘ (𝐚 X 𝐛 ∙ 𝐜)(𝐝 X 𝐞 ∙ 𝐟): <- det 𝐀T = det 𝐀, det (𝐀 𝐁) = (det 𝐀)(det 𝐁) ∴
┃𝑎1 𝑎2 𝑎3┃┃𝑑1 𝑒1 𝑓1┃ ┃𝐚 ∙ 𝐝 𝐚 ∙ 𝐞 𝐚 ∙ 𝐟 ┃
(𝐚 X 𝐛 ∙ 𝐜)(𝐝 X 𝐞 ∙ 𝐟) = ┃𝑏1 𝑏2 𝑏3┃ ┃𝑑2 𝑒2 𝑓2┃=┃𝐛 ∙ 𝐝 𝐛 ∙ 𝐞 𝐛 ∙ 𝐟 ┃
┃𝑐1 𝑐2 𝑐3┃ ┃𝑑3 𝑒3 𝑓3┃ ┃𝐜 ∙ 𝐝 𝐜 ∙ 𝐞 𝐜 ∙ 𝐟 ┃
p.s. '텐서 해석 개론'(최덕기 2003, 범한서적)을 텍스트로 필요 부분들을 편집하고 일부 오류를 수정했습니다.
몇가지를 검토한 끝에 선택한 이 책이 다른 영문책/번역판들보다 이해가 쉬우면서도 실용적이었습니다. |
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