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Tensor 해석 I-1: Dyad와 Tensor의 연산
    김관석  (Homepage) 2019-05-27 13:44:06, 조회수 : 381
- Download #1 : Tensor_I_1.jpg (28.3 KB), Download : 1



일반상대성 원리(GR)는 텐서 방정식(tensor equation)이므로 이를 이해하려면 tensor를 학습하여야만 합니다. 그 기초로서,
vector란 수학/물리학에서 크기와 방향을 갖는 기하적 객체(geometric object)이며, scalar란 크기만을 갖는 객체(object)입니다.
vector space Rⁿ 이란 vector들이 서로 더해지거나, scalar와의 곱셈이 가능한 집합을 가리키며, 이때 n개의 성분을 갖습니다.

I-1 Tensor의 개념

Tensor란 개념적으로는 '정의된 좌표계(coordinate system)의 성분을 갖도록 한 vector의 확장'이라고 할 수 있습니다.
이는 tensor로 표기된 모든 방정식과 법칙들이 '좌표계 간의 이동과 회전 등의 각종 변환에 대한 불변성'을 유자하기 위함입니다.
특정 tensor가 정의되어 있는 좌표계는 선형 독립한 기저(linearly independent basis) tensor들로써 식별할 수 있습니다.

       * 선형 독립(linear independence): 하나의 vector space에 속하는 vector의 집합에서 어떤 vector라도 다른 vector들의
          linear combination(선형 결합)으로 정의할 수 없는 경우를 말합니다.  ↦  𝐀: matrix of vectors,  det 𝐀 ≠ 0  ※        

I-2  (4.2) Tensor의 차수(order) 

      Tensor u = u1e1 + u2e2 + ... + unen  [en: unit baisis(단위 기저) tensor, ∥en∥= 1] * Cartesian 좌표계의 경우
      N차 tensor는 3차원에서는 3n개의, 일반적 M차원에서는 Mn개의 basis tensors성분(componets)을 갖습니다..
      0차 tensor는 한개의 성분을 갖는 scalar이며, 1차 tensor는 vector로서 3차원에서는 3^1 = 3개의 성분을 갖으며,
      2차 tensor σ𝑖𝑗는 M차원에서 M^2개의 성분을 가지므로 3차원에서 3^2 = 9개, 4차원에서 4^2 = 16개의 성분을 갖습니다. 
           Tensor σ = [σ𝑖𝑗] =
              ⌈  σ11  σ12  σ13
             ┃ σ21  σ22  σ23 ┃  (𝑖,𝑗 = 1,2,3)   [4.2.6]
              ⌊  σ31  σ32  σ33

I-3  (4.3) Tensor의 지수(index)
 
      Tensor는 차수와 같은 숫자의 지수(index)를 가집니다. 즉, 2차는 2개, 3차는 3개, 4차는 4개의 지수(ex: C𝑖𝑗𝑘𝑙)를 가집니다.
      Tensor의 연산은 1차 tensor인 vector의 경우와 유사하게 되는데, 다만 그 지수(index)는 꼭 일치해야만 합니다. ex) C𝑗𝑘 = A𝑗𝑘 + B𝑗𝑘
      * Einstein's Summation Convention(합의 규약) <- ※ superscript(위첨자)와 subscript(아래첨자)간 중복 가능
       a) Tensor로 표기된 식에서 중복 지수(dummy index)는 합의 기호(∑)를 대치합니다. ex) A𝑘𝑘 =  ∑ A𝑘𝑘 (𝑘=1,2,3) = A11 + A22 + A33
       b) 같은 항에서 중복 지수는 2개를 넘을 수 없습니다. ex) v =  ϵ𝑖𝑗𝑘 a𝑖b𝑗c𝑗 [𝑗가 3개라 틀림] ⇒ v =  ϵ𝑖𝑗𝑘 a𝑖b𝑗c𝑘       
      * Free index rule(자유 지수 규칙)
       Tensor 방정식에서 양쪽 변의 자유 지수(free index)는 동일해야 합니다. ex)  t𝑘 = σ𝑗𝑘 n𝑘 [틀림] ⇒  t𝑗 = σ𝑗𝑘n𝑘

I-3  (4.5) 특별한 종류의 Tensor
  
      a) Kronecker delta: δ𝑖𝑗 = 0 (𝑖≠𝑗), 1 (𝑖=𝑗)   [4.5.1]  <- 나중에 나오는 unit (단위) tensor의 지수 표기임.
               δ11 = 1       δ12 = 0       δ13 = 0
               δ21 = 0       δ22 = 1       δ23 = 0    [4.5.2]
               δ31 = 0       δ32 = 0       δ33 = 1
          Kronecker delta는 결합된 다른 tensor의 동일한 지수를 자신의 다른 지수로 대치하는 중요한 역할의 성질을 갖습니다.
              ex1) δ𝑗𝑘 x𝑗 = x𝑘     ex2) δ𝑖𝑚 δ𝑗𝑛 T𝑚𝑛 = T𝑖𝑗
      b) Permutation symbol(순환 기호):  𝑒𝑖𝑗𝑘 = {1 (123, 231, 312), -1 (321, 213, 132), 0 (이외의 경우)}   [4.5.6]
              ex) 𝑒𝑗𝑘𝑘 = e𝑗11 + 𝑒𝑗22 + 𝑒𝑗33 = 0 + 0 + 0 = 0. ∵ 각기 모두가 '이외의 경우'이므로
      c) Tensor와 Cartesian 좌표계:       
              ex) Carttesian 좌표계 3차원 2차 tensor *
                   Tensor σ = [σ𝑖𝑗] =
                     ⌈ σ11  σ12  σ13 ⌉            
                    ┃σ21   σ22  σ23┃  (𝑖,𝑗 = 1,2,3)   [4.5.12]
                     ⌊ σ31   σ32  σ33 ⌋    

I-4 Tensor의 기본 연산

      a) 5.1 Dot product (내적)
               ab = (a𝑖 𝐞𝑖) ∙ (b𝑗 𝐞𝑗)  = a𝑖b𝑗 𝐞𝑖 ∙ 𝐞𝑗 = a𝑖b𝑗 δ𝑖𝑗 = a𝑖b𝑖;  δ𝑖𝑗 ≡ 𝐞𝑖 ∙ 𝐞𝑗 <- kronecker delta 정의   [5.1.1-4]
      b) 5.2 Cross product (외적)
               ab = (a𝑖 𝐞𝑗) ⨯ (b𝑗 𝐞𝑗)  = a𝑖b𝑗 𝐞𝑖 ⨯ 𝐞𝑗   [5.2.1]
               ab =
                 ∣ 𝐞1 𝐞2 𝐞3
                 ∣ a1 a2 a3 ∣ = 𝑒𝑖𝑗𝑘 a𝑖b𝑗 𝐞𝑘  <-  𝐞𝑖 ⨯ 𝐞𝑗 = 𝑒𝑖𝑗𝑘 𝐞𝑘   [5.2.2,3]
                 ∣ b1 b2 b3
      c) 5.3 Triple dot product (삼중 내적)
               (ab) ∙ c =
                 ∣ a1 a2 a3 ∣     ∣ a1 b1 c1
                 ∣ b1 b2 b3 ∣ = ∣ a2 b2 c2 ∣  =  𝑒𝑖𝑗𝑘 a𝑖b𝑗c𝑘;  𝑒𝑖𝑗𝑘 ≡ (𝐞𝑖 ⨯ 𝐞𝑗) ∙ 𝐞𝑘 <- permutation symbol 정의   [5.3.1,2]
                 ∣ c1 c2 c3 ∣     ∣ a3 b3 c3

I-5  (5.4,5) Dyad의 개념과 연산

      a) Dyad와 dyad product(곱) **
          dyad란 두 vector의 곱으로 이루어진 2차 tensor를 말하며, 이 곱을 dyad product라 합니다. → ab or  a b   [5.4.1,2]
          dyad란 2차 tensor로서 componentsbasis dyad로 구성됩니다. → ab = a𝑖b𝑗 𝐞𝑖 ⊗ 𝐞𝑗 = T = T𝑖𝑗 𝐞𝑖 ⊗ 𝐞𝑗   [5.5.2]
      b) Basis(기저) dyad                                                                                                         
              각각의 identity basis(단위 기저) vector의 곱이므로,
              ex) 𝐞1 ⊗ 𝐞2
                     ⌈ 1 ⌉                    
                    ┃0┃  [ 0  1  0 ]  =  (결과: 아래 참조)   [5.4.6]              
                     ⌊ 0 ⌋                         
              전부를 계산했을 때 결과는...  [5.4.7]
                𝐞1 ⊗ 𝐞1 =                   𝐞1 ⊗ 𝐞2 =                 𝐞1 ⊗ 𝐞3 =                                                                                     
                  ⌈ 1  0  0 ⌉                   ⌈ 0  1  0 ⌉                  ⌈ 0  0  1 ⌉
                 ┃0  0  0┃                  ┃0  0  0┃                 ┃0  0  0┃
                  ⌊ 0  0  0 ⌋                   ⌊ 0  0  0 ⌋                  ⌊ 0  0  0 ⌋ 
                𝐞2 ⊗ 𝐞1 =                   𝐞2 ⊗ 𝐞2 =                 𝐞2 ⊗ 𝐞3 =
                  ⌈ 0  0  0 ⌉                   ⌈ 0  0  0 ⌉                   ⌈ 0  0  0 ⌉                          
                 ┃1  0  0┃                  ┃0  1  0┃                  ┃0  0  1┃
                  ⌊ 0  0  0 ⌋                   ⌊ 0  0  0 ⌋                   ⌊ 0  0  0 ⌋
                𝐞3 ⊗ 𝐞1 =                   𝐞3 ⊗ 𝐞2 =                 𝐞3 ⊗ 𝐞3 =
                  ⌈ 0  0  0 ⌉                   ⌈ 0  0  0 ⌉                   ⌈ 0  0  0 ⌉
                 ┃0  0  0┃                  ┃0  0  0┃                  ┃0  0  0┃
                  ⌊ 1  0  0 ⌋                   ⌊ 0  1  0 ⌋                   ⌊ 0  0  1 ⌋
      c) Identity(단위) dyad
                 I  =
                   ⌈ 1  0  0 ⌉                  
                  ┃0  1  0┃ =  δ𝑖𝑗 𝐞𝑖 ⊗ 𝐞𝑗 =  𝐞𝑖 ⊗ 𝐞𝑖   [5.5.28]
                   ⌊ 0  0  1 ⌋     
      d) 5.6 Dyad 연산 <- [Wikipedia] 'Dyadics' 'Tensor product' [link] <- ※ 앞으로 자주 쓰임.
          ∘ Dyad와 vector dot product: (ab) ∙ c = a (bc),  c ∙ (ab) = (ca) b,  a ∙ (bc) ∙ d = (ab)(cd)    [5.6.3]
          ∘ Dyad와 vector cross product: (ab) ⨯ c = a (bc),  c ⨯ (ab) = (ca) b
          ∘ Dyad와 dyad dot product: (ab) ∙ (cd) = (bc) (ad)    [5.6.8]
          ∘ Dyad의 double dot product(이중 점곱): (ab) : (cd) = (ac) (bd)    [5.6.16]

I-6 Tensor의 특성과 연산
  
      a) 6.1 Tensor dot product
         ∘ Contraction(축약):  index(지수)를 중복해서 합하면 order(차수)가 2차 낮아짐. ex) 𝐀 - 2차 tensor, 𝐀𝑘𝑘- 0차 tensor, scalar
                                          2차 tensor의 dot product -> 2차 tensor, 2차 tensor의 double product -> 0차 tensor  
         ∘ Tensor의 성분 구하기: 그 basis vector를 dot product함. ex) 𝐀 ∙ 𝐞𝑖 = A𝑖𝑗 𝐞𝑖 ⊗ 𝐞𝑗∙ 𝐞𝑖 =  A𝑖𝑗 𝐞𝑖 δ𝑗𝑖 =  A𝑖1+ A𝑖2+ A𝑖3   [6.1.22-4]
         ∘ 2차 tensor의 dot product: 𝐀2 = 𝐀 ∙ 𝐀,   𝐀3 = 𝐀 ∙ 𝐀 ∙ 𝐀    [6.1.33,34]
         ∘ double dot product:  𝐀 : 𝐁 = A𝑖𝑗 𝐞𝑖 ⊗ 𝐞𝑗 : B𝑘𝑙 𝐞𝑘 ⊗ 𝐞𝑙 = A𝑖𝑗B𝑘𝑙 (𝐞𝑖 ⊗ 𝐞𝑗 : 𝐞𝑘 ⊗ 𝐞𝑙) = A𝑖𝑗B𝑘𝑙 (𝐞𝑖 ∙ 𝐞𝑘)(𝐞𝑗 ∙ 𝐞𝑙) = A𝑖𝑗B𝑘𝑙 δ𝑖𝑘 δ𝑗𝑙 = A𝑖𝑗B𝑖𝑗  
             <- ∵  (ab) : (cd) = (ac) (bd);  두번의 축약 수행 후 0차 tensor, scalar가 됨.   [6.1.35-40]
      b) 6.2 Identity(단위) tensor
         ∘ 2차 identity tensor:  𝐈 = δ𝑖𝑗 𝐞𝑖 ⊗ 𝐞𝑗,  𝐈 ∙ 𝐚 = 𝐚   [6.2.6,10]
         ∘ Trace(대각합):  𝐀 : 𝐈 = tr(𝐀) ≡ 𝐀𝑘𝑘 = 𝐀11 + 22 + 33   [6.2.11]
                 tr(𝐀) = tr(𝐀T) = A𝑖𝑖𝐀 : 𝐁 = A𝑖𝑗B𝑖𝑗,  tr(𝐀2) = tr(𝐀 ∙ 𝐀) = 𝐀 ∶ 𝐀 = A𝑖𝑗A𝑖𝑗   [6.2.12-15]
         ∘ Tensor의 크기: ∥𝐀∥= √ (𝐀 : 𝐀) = √ tr𝐀2 = √ A𝑖𝑗A𝑖𝑗   [6.2.17,18]
      c) 6.3  Tensor의 inverse(역)
         ∘ Tensor와 matrix(행렬):  tensor의 inverse 𝐀-1 or [A𝑖𝑗]-1,  𝐀 ∙ 𝐀-1 = 𝐈  <- 2차 identity(단위) tensor   [6.3.1,2]
         ∘ Determinant: det 𝐀,  minor determinant: 𝑀𝑖𝑗,  cofactor: Ȃ = (-1)𝑖+𝑗 𝑀𝑖𝑗   [6.3.5,6]
             det 𝐀T = det 𝐀,  det (𝐀 𝐁) = (det 𝐀) (det 𝐁),  det 𝐀-1 = 1 / det 𝐀   [6.3.12-14]  
         ∘ Inverse matrix(역행렬):  𝐀-1 = (Ȃ)T/ det 𝐀  <- ※ 중요함;   (𝐀-1)-1 = 𝐀,  (𝐀T)-1 = (𝐀-1)T   [6.3.12]
         ∘ Orthogonal(직교) tensor :  𝐀-1 = 𝐀T,  𝐀 ∙ 𝐀-1 = 𝐀 ∙ 𝐀T =  𝐈   [6.3.25,26]
      d) 6.4 Eigenvalue(고유값)의 문제>
             (𝐀 - λ𝐈) ∙ 𝐱 = 0     λ: eigenvalue,   𝐱: eigenvector ,  𝐈: identity vector   [6.4.1]
            det (𝐀 - λ𝐈) = 0   [6.4.2]    
            λ3 - 𝐼 λ2 +  𝐼𝐼 λ2 - 𝐼𝐼𝐼 = 0   [6.4.3]  
            𝐼 = tr𝐀 = A𝑖𝑗,   𝐼𝐼 = 1/2{(tr𝐀 )2 - (tr(𝐀 2)} = 1/2{(A𝑖𝑗 A𝑖𝑗 - A𝑖𝑗 A𝑖𝑗)},   𝐼𝐼𝐼 = det  𝐀 = 𝑒𝑖𝑗𝑘 A1𝑖 A2𝑗 A3𝑘   [6.4.5,6]
      e) 6.5 Determinant와 permutaion symbol(순환 기호)
         ∘  det 𝐀 = det[A𝑖𝑗] = 𝑒𝑖𝑗𝑘 A1𝑖 A2𝑗A3𝑘 = 𝑒𝑖𝑗𝑘  A𝑖1A𝑗2A𝑘3   [6.5.2]
         ∘  (𝐚 ⨯ 𝐛 ∙ 𝐜)(𝐝 ⨯ 𝐞 ∙ 𝐟) =   <-  ※ II-6 f)에서 사용;  det 𝐀T = det 𝐀,  det (𝐀 𝐁) = (det 𝐀) (det 𝐁) 활용   [6.5.25]
              ∣ 𝑎1  𝑎2  𝑎3 ∣  ∣ 𝑑1  𝑒1  𝑓1 ∣      ∣ 𝐚 ∙ 𝐝    𝐚 ∙ 𝐞    𝐚 ∙ 𝐟 ∣
              ∣ 𝑏1  𝑏2  𝑏3 ∣  ∣ 𝑑2  𝑒2  𝑓2 ∣  =  ∣ 𝐛 ∙ 𝐝    𝐛 ∙ 𝐞    𝐛 ∙ 𝐟 ∣                                  
              ∣ 𝑐1  𝑐2   𝑐3 ∣  ∣ 𝑑3  𝑒3  𝑓3 ∣      ∣ 𝐜 ∙ 𝐝     𝐜 ∙ 𝐞    𝐜 ∙ 𝐟 ∣

p.s.  최덕기 저 '텐서 해석 개론'(2003, 범한서적)를 텍스트로 편집하고, 일부 오류/오타들을 수정함.
        몇가지를 검토한 끝에 선택한 이 책이 다른 영문책/번역판들보다 이해가 쉬우면서도 실용적인 듯했음.
        예제 추가와 Ipad 위주의 행렬과 determinant 표기 수정 등 전반적으로 업데이트함. [u. 10.2019]
        *, ** 상대성 이론은 시간 차원을 포함한 4차원 2차 tensor인 4-vector dyad를 사용함.


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