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Tensor 해석 I-1: Dyad와 Tensor의 연산
    김관석  (Homepage) 2019-05-27 13:44:06, 조회수 : 277
- Download #1 : Tensor_I_1.jpg (28.3 KB), Download : 1



일반상대성 원리(GR)는 텐서 방정식(tensor equation)이므로 이를 이해하려면 tensor를 학습하여야만 합니다. 그 기초로서,
vector란 수학/물리학에서 크기와 방향을 갖는 기하적 객체(geometric object)이며, scalar란 크기만을 갖는 객체(object)입니다.
vector space Rⁿ 이란 vector들이 서로 더해지거나, scalar와의 곱셈이 가능한 집합을 가리키며, 이때 n개의 성분을 갖습니다.

I-1 Tensor의 개념

tensor란 개념적으로는 '정의된 좌표계(coordinate system)의 성분을 갖도록 한 vector의 확장'이라고 할 수 있습니다.
이는 tensor로 표기된 모든 방정식과 법칙들이 '좌표계 간의 이동과 회전 등의 각종 변환에 대한 불변성'을 유자하기 위함입니다.
특정 tensor가 정의되어 있는 좌표계는 선형 독립한(linearly independent) basis(기저) tensor들로써 식별할 수 있습니다.

       * 선형 독립(linear independence): 한 vector space에 속하는 vector의 집합에서 어떤 vector라도 다른 vector들의
          linear combination(선형 결합)으로 정의할 수 없는 경우를 말합니다.  ↦  𝐀: matrix of vectors,  det 𝐀 ≠ 0  ※        

I-2 Tensor의 차수(order) 

      Tensor u = u1e1 + u2e2 + ... + unen  [en: unit baisis tensor(단위 기저 텐서), ∥en∥= 1] * Cartesian 좌표계
      N차 tensor는 3차원에서는 3n개의, 일반적 M차원에서는 Mn개의 basis tensors성분(componets)을 갖습니다..
      0차 tensor는 한개의 성분을 갖는 scalar이며, 1차 tensor는 vector로서 3차원에서는 3^1 = 3개의 성분을 갖으며,
      2차 tensor σij는 M차원에서 M^2개의 성분을 가지므로 3차원에서 3^2 = 9개, 4차원에서 4^2 = 16개의 성분을 갖습니다. 
                                ⌈ σ11  σ12 σ13
      Tensor σ = [σij] =┃σ21  σ22 σ23┃    (i, j = 1, 2, 3)
                                ⌊ σ31  σ32 σ33

I-3 Tensor의 지수(index)
 
      Tensor는 차수와 같은 숫자의 지수(index)를 가집니다. 즉, 2차는 2개, 3차는 3개, 4차는 4개의 지수(예: Cijkl)를 가집니다.
      Tensor의 연산은 1차 tensor인 vector의 경우와 유사하게 되는데, 다만 그 지수(index)는 꼭 일치해야만 합니다. 예) Cjk =  Ajk + Bjk
      * Einstein's summation convention (아인슈타인 합의 규약)
       a) Tensor로 표기된 식에서 중복 지수(dummy index)는 합의 기호(∑)를 대치합니다. 예) Akk =  ∑ A kk(k=1,2,3) = A11 + A22 + A33
       b) 같은 항에서 중복 지수는 2개를 넘을 수 없습니다. 예) v =  ϵijk ai bj cj [j가 3개라 틀림]  ⇒  v =  ϵ𝑖𝑗𝑘 ai bj ck       
      * Free index rule (자유 지수 규칙)
       Tensor 방정식에서 양쪽 변의 자유 지수(free index) 는 동일해야 합니다. 예)  tk = σjk nk [틀림]  ⇒   tj = σ jk nk

I-3 특별한 종류의 Tensor
  
      a) Kronecker delta: δij = 0 (i ≠ j), 1 (i = j) <- 나중에 나오는 unit tensor(단위 텐서)의 지수 표기임.
               δ11 = 1       δ12 = 0       δ13 = 0
               δ21 = 0       δ22 = 1       δ23 = 0
               δ31 = 0       δ32 = 0       δ33 = 1
          Kronecker delta는 결합된 다른 tensor의 동일한 지수를 자신의 다른 지수로 대치하는 중요한 역할의 성질을 갖습니다.
              예1)  δjk xj = xk     예2)  δim δjn Tmn =  Tij
      b) Alternating tensor (Permutation symbol 순환 기호):  𝑒𝑖𝑗𝑘 = 1 (123, 231, 312), -1 (321, 213, 132), 0 (이외의 경우)
              예) ej k k = ej 11 + ej 22 + ej 33 = 0 + 0 + 0 = 0. ∵ 각기 모두가 이외의 경우이므로
      c) Tensor와 Cartesian 좌표계:       
              예) Carttesian 좌표계 2차 tensor
                                            ⌈ σ11  σ21  σ31  ⌉      ⌈ σxx  σyx  σ zx ⌉              
                Tensor σ = [σij] =  ┃σ21   σ22  σ23┃ = ┃σyx  σyy   σyz
                                            ⌊ σ31  σ32  σ33  ⌋      ⌊ σzx  σzy  σ zz
I-4 Tensor의 기본 연산

      a) Dot product (내적)
               ab = (ai 𝐞i) ∙  (bj 𝐞j)  = ai bj 𝐞i ∙ 𝐞j = ai bj δij = ai bi  * 𝐞: unit basis vector;  δij ≡ 𝐞i ∙ 𝐞j <- kronecker delta 정의
      b) Cross product (외적)
               a x b = (ai 𝐞i) x (bj 𝐞j)  = ai bj 𝐞i x 𝐞j
                                 ┃𝐞1 𝐞2 𝐞3
               a x b = det ┃a1 a2 a3┃ = e𝑖𝑗𝑘 a i bj 𝐞k  <-   cross(outer) product 정의; ∴  𝐞i x 𝐞j = 𝑒𝑖𝑗𝑘 𝐞k <- !
                                ┃b1 b2 b3
      c) Triple dot product (삼중 내적)
                                        ┃a1 a2 a3┃           ┃a1 b1 c1
               (a x b) ∙ c = det ┃b1 b2 b3┃ =  det  ┃a2 b2 c2┃  =  𝑒𝑖𝑗𝑘 ai bj ck;  𝑒𝑖𝑗𝑘 ≡ (𝐞i x 𝐞j) ∙ 𝐞k<- permutation symbol 정의
                                        ┃c1 c2 c3┃           ┃a3 b3 c3
I-5 Dyad의 개념과 연산

      a) Dyad와 dyad product(dyad 곱)
          dyad란 두 vector의 곱으로 이루어진 2차 tensor를 말하며, 이때의 곱을 dyad product라 합니다. ↦ ab, 혹은  a b
          dyad란 2차 tensor로서 componentsbasis dyad로 구성됩니다. ↦ ab = ai bj 𝐞i ⊗ 𝐞j = T = Tij 𝐞i ⊗ 𝐞j
      b) Basis dyad(기저 dyad)
                                                                                          ⌈ 1 ⌉                    ⌈ 0  1  0 ⌉                   
              각각의 unit basis vector product이므로, 예) 𝐞1 ⊗ 𝐞2 = ┃0┃ [ 0  1  0 ] = ┃0  0  0┃,  전부를 계산해 보면 ...
                                                                                          ⌊ 0 ⌋                    ⌊ 0  0  0 ⌋                  
                             ⌈ 1  0  0 ⌉                   ⌈ 0  1  0 ⌉                   ⌈ 0  0  1 ⌉
              𝐞1 ⊗ 𝐞1 = ┃0  0  0┃,  𝐞1 ⊗ 𝐞2 = ┃0  0  0┃,  𝐞1 ⊗ 𝐞3 =┃0  0  0┃
                             ⌊ 0  0  0 ⌋                   ⌊ 0  0  0 ⌋                   ⌊ 0  0  0 ⌋  
                             ⌈ 0  0  0 ⌉                   ⌈ 0  0  0 ⌉                   ⌈ 0  0  0 ⌉                          
              𝐞2 ⊗ 𝐞1 = ┃1  0  0┃,  𝐞2 ⊗ 𝐞2 = ┃0  1  0┃,  𝐞2 ⊗ 𝐞3 =┃0  0  1┃
                             ⌊ 0  0  0 ⌋                   ⌊ 0  0  0 ⌋                   ⌊ 0  0  0 ⌋
                             ⌈ 0  0  0 ⌉                   ⌈ 0  0  0 ⌉                   ⌈ 0  0  0 ⌉
              𝐞3 ⊗ 𝐞1 = ┃0  0  0┃,  𝐞3 ⊗ 𝐞2 = ┃0  0  0┃,  𝐞3 ⊗ 𝐞3 =┃0  0  0┃
                             ⌊ 1  0  0 ⌋                   ⌊ 0  1  0 ⌋                   ⌊ 0  0  1 ⌋
      c) Unit dyad(단위 dyad)
                    ⌈ 1 0 0 ⌉                  
              I  = ┃0 1 0┃ =  δij 𝐞i ⊗ 𝐞j =  𝐞i ⊗ 𝐞i
                    ⌊ 0 0 1 ⌋        
      d) Dyad 연산 <- [Wikipedia] 'Dyadics' 'Tensor product' [link]
          ∘ Dyad & vector dot product: (ab) ∙ c = a (bc),  c ∙ (ab) = (ca) b,  a ∙ (bc) ∙ d = (ab)(cd)
          ∘ Dyad & vector cross product: (ab) X c = a (b X c),  c X (ab) = (c X a) b
          ∘ Dyad & dyad dot product: (ab) ∙ (cd) = (bc) (ad)
          ∘ Dyad double dot product: (ab) ∶ (cd) = (ac) (bd)

I-6 Tensor의 특성과 연산
  
      a) Tensor dot product(점곱)
         ∘ Contraction(축약):  index(지수)를 중복해서 합하면 order(차수)가 2차 낮아짐. 예) 𝐀 - 2차 tensor, 𝐀kk- 0차 tensor, scalar
                                          2차 tensor의 dot product -> 2차 tensor, 2차 tensor의 double product -> 0차 tensor  
         ∘ Tensor의 성분 구하기: 해당 basis vector를 dot product를 수행함. 예) 𝐀 ∙ 𝐞i = Aij 𝐞i ⊗ 𝐞j∙ 𝐞i =  Aij 𝐞i δji =  Ai1+ Ai2+ Ai3 
         ∘ 2차 tensor의 dot product: 𝐀2 = 𝐀 ∙ 𝐀,   𝐀3 = 𝐀 ∙ 𝐀 ∙ 𝐀
      b) Unit(단위) tensor
         ∘ 2차 unit tensor:  𝐈 = δij 𝐞i ⊗ 𝐞j,  𝐈 ∙ 𝐚 = 𝐈
         ∘ Trace(대각합):  𝐀 : 𝐈 = tr(𝐀) = 𝐀kk, tr(𝐀) = tr(𝐀T) = Aij, 𝐀 ∶ 𝐁 = Aij Bij, tr(𝐀2) = tr(𝐀 ∙ 𝐀) = 𝐀 ∶ 𝐀 = Aij Aij
         ∘ Tensor의 크기: ∥𝐀∥= √ (𝐀 ∶ 𝐀) = √ tr𝐀2 = √ Aij Aij 
      c) Tensor의 inverse(역)
         ∘ Tensor와 matrix(행렬):  tensor의 inverse 𝐀-1 혹은 [Aij]-1,  𝐀 ∙ 𝐀-1 = 𝐈
         ∘ Determinant: det 𝐀,  minor determinant: 𝑀ij,  cofactor: Ȃ = (-1)i+j 𝑀ij
             det 𝐀T = det 𝐀,  det (𝐀 𝐁) = (det 𝐀)(det 𝐁),  det 𝐀-1 = 1 / det 𝐀    
         ∘ Inverse matrix(역행렬):  𝐀-1 = (Ȃ)T/det 𝐀  <-※, (𝐀-1)-1 = 𝐀,  (𝐀T)-1 = (𝐀-1)T
         ∘ Orthogonal tensor(직교 텐서):  𝐀-1 = 𝐀T,  𝐀 ∙ 𝐀-1 = 𝐀 ∙ 𝐀T =  𝐈
      d) Eigenvalue(고유값)의 문제
             (𝐀 - λ𝐈) ∙ 𝐱 = 0     λ: eigenvalue,   𝐱: eigenvector
            det (𝐀 - λ𝐈) = 0  
            λ3 - 𝐼 λ2 +  𝐼𝐼 λ2 - 𝐼𝐼𝐼 = 0  
            𝐼 = tr𝐀 = Aij,   𝐼𝐼 = 1/2 [ (tr𝐀 )2 - (tr(𝐀 2)] = 1/2 [(Aii Ajj - Aij Aij)],   𝐼𝐼𝐼 = det 𝐀 = 𝑒𝑖𝑗𝑘 A1i A2j A3k
      e) Determinant와 permutaion symbol(순환 기호)
         ∘  det 𝐀 = det [Aij] = 𝑒𝑖𝑗𝑘 A1i A2j A3k = 𝑒ijk Ai1 Aj2 Ak3
         ∘  (𝐚 X 𝐛 ∙ 𝐜)(𝐝 X 𝐞 ∙ 𝐟):  <- det 𝐀T = det 𝐀,  det (𝐀 𝐁) = (det 𝐀)(det 𝐁)  ∴      
                                           ┃𝑎1 𝑎2 𝑎3┃┃𝑑1 𝑒1 𝑓1┃  ┃𝐚 ∙ 𝐝    𝐚 ∙ 𝐞    𝐚 ∙ 𝐟 ┃
           (𝐚 X 𝐛 ∙ 𝐜)(𝐝 X 𝐞 ∙ 𝐟) = ┃𝑏1 𝑏2 𝑏3┃ ┃𝑑2 𝑒2 𝑓2┃=┃𝐛 ∙ 𝐝    𝐛 ∙ 𝐞    𝐛 ∙ 𝐟 ┃
                                           ┃𝑐1 𝑐2 𝑐3┃ ┃𝑑3 𝑒3 𝑓3┃  ┃𝐜 ∙ 𝐝    𝐜 ∙ 𝐞     𝐜 ∙ 𝐟 ┃

p.s.  '텐서 해석 개론'(최덕기 2003, 범한서적)을 텍스트로 필요 부분들을 편집하고 일부 오류를 수정했습니다.
        몇가지를 검토한 끝에 선택한 이 책이 다른 영문책/번역판들보다 이해가 쉬우면서도 실용적이었습니다.


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