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텐서(Tensor) 해석 I-2
    김관석  (Homepage) 2019-06-03 00:08:56, 조회수 : 120
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I-7 Tensor의 미분과 적분
  
      a) 좌표에 대한 미분
          함수 𝜙(𝐱)에 대한 좌표에 대한 미분 ⟼  ∂𝜙 /∂xi 또는 𝜙,i (index notation: 지수 표기)
      b) Del(미분 연산자)
          𝛁 = ∂ /∂𝐱 = (∂ /∂xi) 𝐞i <- 1차 tensor, Einstein summation convention 이하 동일
      c) Gradient(구배)
          ∘ Scalar field(스칼라장): 𝛁𝜙 = ∂𝜙/∂𝐱 = (∂𝜙/∂xi) 𝐞i
          ∘ Vector field(벡터장): 𝛁𝐮 = ∂𝐮/∂𝐱 = (∂uj/∂xi) 𝐞i ⊗ 𝐞j <- 2차 tensor
          ∘ Conjugate gradient(켤레 구배): 𝐮𝛁 =  (∂ui/∂xj) 𝐞i ⊗ 𝐞j
          ∘ Vector 미분과 Kronecker delta: 𝛁𝐱 = ∂𝐱/∂𝐱 = (∂xj/∂xi) 𝐞i ⊗ 𝐞j = 𝐈 = δij  <- 𝐈: unit(단위) tensor
          ∘ 2차 tensor gradient: 𝛁𝐀 = (∂/∂xi) 𝐞i ⊗ (Ajk 𝐞j ⊗ 𝐞k) = (∂Ajk/∂xi) 𝐞i ⊗ 𝐞j ⊗ 𝐞k 또는 ∂Ajk/∂xi = Ajk,i로 표기
      d) Divergence(발산)
          ∘ Vector divergence: 𝛁 ∙ 𝐮 = (∂/∂𝐱) ∙ 𝐮 = (∂/∂xi)𝐞i ∙  uj𝐞j = (∂uj/∂xi) 𝐞i ∙ 𝐞j = (∂uj/∂xi) δij = ∂ui/∂xi
          ∘ 2차 tensor divergence: 𝛁 ∙ 𝐀 = (∂/∂xi)𝐞i ∙ Ajk(𝐞j ⊗ 𝐞k) =  (∂Ajk/∂xi)(𝐞i ∙ 𝐞j)𝐞k = (∂Ajk/∂xi) δij𝐞k = (∂Aik/∂xi) 𝐞k
      e) Laplacian operator(연산자)
          𝛁2 = 𝛁 ∙ 𝛁 = (∂/∂xi)𝐞i ∙ (∂/∂xj)𝐞j = (∂2/∂xj∂xi)𝐞i ∙ 𝐞j = (∂2/∂xj∂xj) δij= ∂2/∂xi∂xi 로 정의됩니다.
      f) Curl(회전)
         ∘ Vector curl : 𝛁 X 𝐮 = (∂/∂xi)𝐞i X uj𝐞j = (∂uj/∂xi) (𝐞i X 𝐞j) = eijk uj,i 𝐞k
                                         = 𝐞1[(∂/∂x2)u3 - (∂/∂x3)u2] - 𝐞2[(∂/∂x1)u3 - (∂/∂x3)u1] + 𝐞3[(∂/∂x1)u2 - (∂/∂x2)u1]
         ∘ Vector conjugate curl: 𝐮 X 𝛁 = ui𝐞i X (∂/∂xj)𝐞j = (∂ui/∂xj) (𝐞i X 𝐞j) = eijk ui,j 𝐞k
         ∘ 2차 tensor curl: 𝛁 X 𝐀 = (∂/∂xi)𝐞i X Ajk(𝐞j ⊗ 𝐞k) =  (∂Ajk/∂xi) (𝐞i X 𝐞j) 𝐞k = eijl Ajk,i (𝐞l ⊗ 𝐞k)
      g) Tensor와 적분
         ∘ Gradient theorem(구배 정리):
            ∭v 𝛁 𝜙 𝑑𝑉 = ∬s 𝜙 𝐧 𝑑𝑆  →  ∭v 𝜙,i 𝑑𝑉 = ∭v ∂𝜙/∂𝑥i 𝑑𝑉 = ∬s 𝜙𝑛i 𝑑𝑆  
         ∘ Divergence theorem(발산 정리):
           ∭v 𝛁 ∙ 𝐮 𝑑𝑉 = ∬s 𝐮 ∙ 𝐧 𝑑𝑆  →  ∭v 𝑢i,i 𝑑𝑉 = ∭v ∂𝑢i/∂𝑥i 𝑑𝑉 = ∬s 𝑢i𝑛i 𝑑𝑆
         ∘ Stokes theorem(Stokes 정리):
          ∬s (𝛁 X 𝐮) ∙ 𝐧  𝑑𝑆 = ∫c 𝐮 ∙ 𝑑𝐶  →  ∬s 𝑛i 𝑒ijk 𝑢k,j 𝑑𝑆 = ∬s 𝑛i 𝑒ijk ∂𝑢k/∂𝑥j 𝑑𝑆 = ∫c 𝑢i 𝑑𝐶i
      h) Taylor series(급수 전개)
         ∘ Scala function: 𝑓(𝑥 + 𝛥𝑥) =  𝑓(𝑥 ) + (𝑑𝑓/𝑑𝑥)𝛥𝑥 + (1/2!)(𝑑2𝑓/𝑑𝑥2)𝛥𝑥 + (1/3!)(𝑑3𝑓/𝑑𝑥3)𝛥𝑥 + ∙ ∙ ∙
         ∘ Vector function: 𝑓(𝐱 + 𝛥𝐱) =  𝑓(𝑥 ) + (𝑑𝑓/𝑑𝐱)𝛥𝐱 + (1/2!)(𝑑2𝑓/𝑑𝐱2)𝛥𝐱 + (1/3!)(𝑑3𝑓/𝑑𝐱3)𝛥𝐱 + ∙ ∙ ∙

I-8 Tensor와 좌표 변환 I
  
      a) 좌표 변환의 원리   <- 그림 8.1 참조
         ∘ 기저 벡터의 변환ēi = 𝑙ij 𝐞j = 𝐋 𝐞j [eq.1] <- 𝐋 = [𝑙ij]:  변환 tensor
                                       ⌈ ēi ⌉     ⌈  𝑙11   𝑙12   𝑙13 ⌉  ⌈ 𝐞i
                                      ┃ē2┃= ┃ 𝑙21   𝑙22   𝑙23┃┃𝐞2┃                                      
                                       ⌊ ē3 ⌋    ⌊  𝑙31   𝑙33   𝑙33 ⌋  ⌊ 𝐞3 ⌋    
                                        𝑙ij ≡  ēi ∙  𝐞j = cos 𝜃ij   [eq.2]
         ∘ Orthogonal tensor(직교 텐서):  변환된 좌표계도 Cartesian 좌표계일 경우  
            𝐞i ∙ 𝐞j = δij,  ēiēj = δij,  (∵ eq.1)  𝑙ik 𝐞kēj = δij,  (∵ eq.2),  𝑙ik 𝑙kj= δij, 𝐋 ∙ 𝐋T = 𝐋T ∙ 𝐋 = 𝐈  ↦  𝐋-1 = 𝐋T                    
         ∘ 좌표계의 역변환:  (∵ eq.1)   𝑙ik ēi =  𝑙ik 𝑙ij 𝐞j = δjk 𝐞j
            𝐞i = 𝑙ji ēj = = 𝐋T ēj  [eq.3]
      b) 좌표 회전 변환  
                                                                                                          ⌈ ū1 ⌉      ⌈ 𝑙11 𝑙12 𝑙13 ⌉     ⌈ u1 ⌉    
            𝐮 = ui 𝐞i →  ūi ēi,  ū = 𝐋 𝐮,   ūi = 𝑙ij ui <- 𝐋 = 𝑙ij: 변환 tensor   ∴  ┃ū2┃ = ┃ 𝑙21 𝑙22 𝑙23┃= ┃u2
                                                                                                          ⌊ ū3 ⌋      ⌊ 𝑙31 𝑙32 𝑙33 ⌋     ⌊ u3 ⌋  
        ∘ x, y, z축에 대한 회전 변환 tensor들은 각각 다음과 같습니다.   <- proof?
                      ⌈   1       0       0    ⌉                ⌈  cos𝜃   0   -sin𝜃  ⌉                 ⌈  cos𝜃   sin𝜃   0   ⌉                                                                                                
           [ 𝑙ij]x = ┃  0   cos𝜃   sin𝜃 ┃    [ 𝑙ij]y = ┃  0       1       0   ┃     [ 𝑙ij]z = ┃-sin𝜃   cos𝜃   0  ┃
                      ⌊   0  -sin𝜃   cos𝜃  ⌋                ⌊  sin𝜃    0   cos𝜃  ⌋                 ⌊   0        0       1   ⌋
        ∘ proper orthogonal translation(적합 직교 변환): det [𝑙ij] = 1,  오른손 좌표계로 변환함.
          improper orthogonal translation(부적합 직교 변환): det [𝑙ij] = -1,  왼손 좌표계로 변환함.
        ∘ 2차 tensor의 변환식
           tensor 𝐀 = Aij 𝐞i ⊗ 𝐞j = Āij ēi ⊗ ēj    [eq.4]
           [eq. 3]  𝐞i= 𝑙kiēk   𝐞j= 𝑙ljēl,  Aij 𝐞i ⊗ 𝐞j = 𝑙ki 𝑙lj Aij ēkēl = 𝑙ik 𝑙j𝑙 Ak𝑙 ēiēj  <-  i → k, j → 𝑙 로 조정 how?
           Āij =  𝑙ik 𝑙j𝑙 Ak𝑙    [eq.5]    <- by [eq.4]
     c) 변환 tensor의 성질 ※
          x̄i = 𝑙ij xj,  좌표 xj로 양변을 미분하면,  ∂x̄i/∂xj= 𝑙ij    [eq.6]
          역변환의 경우도  xj =  𝑙ji ̄xi,  ̄xi로 양변을 미분하면,  ∂xj/∂x̄i= 𝑙ji    [eq.7]        
           ūi= 𝑙ijuj= ∂x̄i/∂xj uj,  uj= 𝑙jiūi= ∂xj/∂x̄i ūi;  ēi= 𝑙ij𝐞j= ∂x̄i/∂xj 𝐞j,  𝐞j= 𝑙jiēi= ∂xj/∂x̄i ēi
           Āij= 𝑙ik𝑙jlAk𝑙= (∂x̄i/∂xk)(∂x̄i/∂xl)Ak𝑙,  Aij= 𝑙ki𝑙ljĀk𝑙= (∂xi/∂x̄k)(∂xi/∂x̄lk𝑙
      d) 이동 및 반사 변환  <- 그림 8.2 참조   
         ∘ 회전-이동 변환:  x̄i = 𝑙ij xj - 𝑑i, 양변을 미분하면,  ∂x̄i/∂xj= 𝑙ij
         ∘ 반사 변환:       ⌈-1  0  0  ⌉                                        
                        [𝑙ij] = ┃ 0  1  0 ┃,   det [𝑙ij] = -1  <- improper orthogonal transformation   
                                 ⌊  0  0  1  ⌋
      e) Jacobian ※
            x̄ = x̄ (x1, x2, x3) 으로 주어진다면,
                  ┃∂x̄1/∂x1  ∂x̄1/∂x2   ∂x̄1/∂x3┃                                    
            𝑱  = ┃∂x̄2/∂x1  ∂x̄2/∂x2   ∂x̄2/∂x3┃  <-  det 𝑱 ≠ 0,  det 𝑱 > 0 : 오른손 좌표계,  det 𝑱 < 0 : 왼손 좌표계
                  ┃∂x̄3/∂x1  ∂x̄3/∂x2   ∂x̄3/∂x3┃  
      f) isotropic(등방) tensor  
          회전 변환 시에 성분의 변화가 없는 tensor를 지칭 →  scalar, 𝟎 vector(1차 tensor 중 유일함)
          2차 tensor Āij = 𝑙ik𝑙jl Akl 회전 변환식에서,  Āij= Aij가 만족되어야 합니다.
      g) 미분 성분의 좌표 변환  
         ∘ Gradient 좌표 변환: scalar field 𝜙̄ = 𝜙  (∵ scalar는 좌표 변환에 불변함)
            𝛁ǿ = ∂𝜙̄ /∂x̄i ēi = ∂𝜙/∂x̄i ēi;  ∂𝜙/∂x̄i = (∂𝜙/∂xk)(∂xk/∂x̄i) = 𝑙ik(∂𝜙/∂xk)  <- [eq.7] 
            𝛁ǿ = ∂ǿ/∂x̄i ēi = ∂𝜙/∂x̄i ēi = 𝑙ik(∂𝜙/∂xk) ēi  
         ∘ Divergence 좌표 변환: 좌표계와 무관하게 불변
            𝛁 ∙ 𝐮 = ∂/∂x̄iēi ∙ ūjēj= ∂ūj/∂x̄i= ∂/∂xk (𝑙ijuj] ∂xk/∂x̄ i= 𝑙ij𝑙ik ∂uk/∂xk∂uk/∂xk  <- eq.6-7, 직교 tensor 𝑙ij𝑙ik= 𝛿jk
         ∘ Curl 좌표 변환:
           𝛁 X 𝐮 = 𝑒̄ 𝑖𝑗𝑘∂ūj/∂x̄i ēk = 𝑒𝑖𝑗𝑘(∂j/∂xp)(𝑙jquq)(∂xp/∂x̄i)ēk = 𝑒𝑖𝑗𝑘𝑙jq𝑙ip(∂uq/∂xp)ēk  <- 𝑒̄ 𝑖𝑗𝑘= 𝑒𝑖𝑗𝑘 회전에 대해 isotropic
        ∘ 시간의 미분: 속도 𝐮 = 𝑑𝐱/𝑑𝑡 (𝐱는 위치 vector, 𝑡는 시간)
           ūi =  𝑑x̄ i/𝑑𝑡 = (𝑑/𝑑𝑡)(𝑙ij𝑥j) = 𝑙ij (𝑑𝑥j/𝑑𝑡) = 𝑙ij 𝑢i  <- 회전 변환과 동일한 변횐 tensor


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