기본 페이지 포트폴리오 대한민국의 전통건축 중국과 일본의 전통건축 서유럽과 미국의 건축 국역 청오경 현대 우주론 대한민국의 산풍경 백두대간 종주산행 네팔 히말라야 트레킹 몽블랑 지역 트레킹 요세미티 캐년 등 티베트 실크로드 야생 생물 파노라마사진 갤러리 클래식 레코드 갤러리 AT 포럼 트레킹 정보 링크


 로그인  회원가입

Tensor 해석 I-2: Tensor 미적분; 좌표변환 I
    김관석  (Homepage) 2019-06-03 00:08:56, 조회수 : 337
- Download #1 : Tensor_I_2.jpg (47.8 KB), Download : 0



I-7 Tensor의 미분과 적분
  
      a) 7.2 좌표에 대한 미분
          함수 𝜙(𝐱)에 대한 좌표에 대한 미분 →  ∂𝜙 /∂x𝑖 또는 𝜙,𝑖 <- index notation(지수 표기)   [7.2.1]
      b) 7.3 Del(미분 연산자)
           𝛁 = ∂/∂𝐱 = (∂/∂x𝑖) 𝐞𝑖 <- 1차 tensor, Einstein summation convention 이하 동일   [7.3.1,2]
      c) 7.4 Gradient(구배)
          ∘ Scalar field(스칼라장): 𝛁𝜙 = ∂𝜙/∂𝐱 = (∂𝜙/∂x𝑖) 𝐞𝑖 = 𝜙,𝑖 𝐞𝑖   [7.4.1,2]
          ∘ Vector field(벡터장): 𝛁𝐮 = ∂𝐮/∂𝐱 = (∂u𝑗/∂x𝑖) 𝐞𝑖 ⊗ 𝐞𝑗 <- 2차 tensor   [7.4.3]
          ∘ Conjugate gradient(켤레 구배): 𝐮𝛁 =  (∂u𝑖/∂x𝑗) 𝐞𝑖 ⊗ 𝐞𝑗   [7.4.5]
          ∘ Vector 미분과 Kronecker delta: 𝛁𝐱 = ∂𝐱/∂𝐱 = (∂x𝑗/∂x𝑖) 𝐞𝑖 ⊗ 𝐞𝑗 = 𝐈 = δ𝑖𝑗 𝐞𝑖 ⊗ 𝐞𝑗   [7.4.7-12]
          ∘ 2차 tensor gradient: 𝛁𝐀 = (∂/∂x𝑖) 𝐞𝑖 ⊗ (A𝑗𝑘 𝐞𝑗 ⊗ 𝐞𝑘) = (∂A𝑗𝑘/∂x𝑖) 𝐞𝑖 ⊗ 𝐞𝑗 ⊗ 𝐞𝑘;  ∂A𝑗𝑘/∂x𝑖 = A𝑗𝑘,𝑖   [7.4.18,19]
      d) 7.5 Divergence(발산)  
          ∘ Vector divergence: 𝛁 ∙ 𝐮 = (∂/∂𝐱) ∙ 𝐮 = (∂/∂x𝑖) 𝐞𝑖 ∙ u𝑗 𝐞𝑗 = (∂u𝑗/∂x𝑖) 𝐞𝑖 ∙ 𝐞𝑗 = (∂u𝑗/∂xi) δ𝑖𝑗 = ∂u𝑖/∂x𝑖   [7.5.1-3]
          ∘ 2차 tensor: 𝛁 ∙ 𝐀 = (∂/∂x𝑖) 𝐞𝑖 ∙ A𝑗𝑘 (𝐞𝑗 ⊗ 𝐞𝑘) =  (∂A𝑗𝑘/∂x𝑖)(𝐞𝑖 ∙ 𝐞𝑗) 𝐞𝑘 = (∂A𝑗𝑘/∂x𝑖) δ𝑖𝑗 𝐞𝑘 = (∂A𝑖𝑘/∂x𝑖) 𝐞𝑘   [7.5.7-10]
      e) 7.6 Laplacian operator(연산자)
            𝛁2 = 𝛁 ∙ 𝛁 = (∂/∂x𝑖) 𝐞𝑖 ∙ (∂/∂x𝑗) 𝐞𝑗 = (∂2/∂x𝑗∂x𝑖) 𝐞𝑖 ∙ 𝐞𝑗 = (∂2/∂x𝑗∂x𝑗) δ𝑖𝑗= ∂2/∂x𝑖∂x𝑖 로 정의됩니다.   [7.6.1-3]
      f) 7.7 Curl(회전)
         ∘ Vector curl : 𝛁 ⨯ 𝐮 = (∂/∂x𝑖) 𝐞𝑖 ⨯ u𝑗 𝐞𝑗 = (∂u𝑗/∂x𝑖) (𝐞𝑖 ⨯ 𝐞𝑗) = e𝑖𝑗𝑘 u𝑗,𝑖 𝐞𝑘   [7.7.1-2]
                                     = 𝐞1[(∂/∂x2)u3 - (∂/∂x3)u2] - 𝐞2[(∂/∂x1)u3 - (∂/∂x3)u1] + 𝐞3[(∂/∂x1)u2 - (∂/∂x2)u1]    [7.7.3]
         ∘ Vector conjugate curl: 𝐮 ⨯ 𝛁 = u𝑖 𝐞𝑖 ⨯ (∂/∂x𝑗) 𝐞𝑗 = (∂u𝑖/∂x𝑗) (𝐞𝑖 ⨯ 𝐞𝑗) = e𝑖𝑗𝑘 u𝑖,𝑗 𝐞𝑘   [7.7.4-7]
         ∘ 2차 tensor curl: 𝛁 ⨯ 𝐀 = (∂/∂x𝑖) 𝐞𝑖 ⨯ A𝑗𝑘 (𝐞𝑗 ⊗ 𝐞𝑘) =  (∂A𝑗𝑘/∂x𝑖) (𝐞𝑖 ⨯ 𝐞𝑗) 𝐞𝑘 = e𝑖𝑗𝑙 A𝑗𝑘,𝑖 (𝐞𝑙 ⊗ 𝐞𝑘)   [7.7.8-12]
      g) 7.9 Tensor와 적분
         ∘ Gradient theorem(구배 정리):
            ∭v 𝛁 𝜙 𝑑𝑉 = ∬s 𝜙 𝐧 𝑑𝑆  →  ∭v 𝜙,𝑖 𝑑𝑉 = ∭v ∂𝜙/∂𝑥𝑖 𝑑𝑉 = ∬s 𝜙𝑛𝑖 𝑑𝑆  <- 𝑛𝑖: 수직인 단위 vector   [7.9.1,2]
         ∘ Divergence theorem(발산 정리):
           ∭v 𝛁 ∙ 𝐮 𝑑𝑉 = ∬s 𝐮 ∙ 𝐧 𝑑𝑆  →  ∭v 𝑢𝑖,𝑖 𝑑𝑉 = ∭v ∂𝑢𝑖/∂𝑥𝑖 𝑑𝑉 = ∬s 𝑢𝑖𝑛𝑖 𝑑𝑆   [7.9.3,4]
         ∘ Stokes theorem(Stokes 정리):
          ∬s (𝛁 X 𝐮) ∙ 𝐧  𝑑𝑆 = ∫c 𝐮 ∙ 𝑑𝐶  →  ∬s 𝑛𝑖 𝑒𝑖𝑗𝑘 𝑢𝑘,𝑗 𝑑𝑆 = ∬s 𝑛𝑖 𝑒𝑖𝑗𝑘 ∂𝑢𝑘/∂𝑥j 𝑑𝑆 = ∫c 𝑢𝑖 𝑑𝐶𝑖   [7.9.5,6]
      h) 7.10 Taylor series(급수 전개)
         ∘ Scala function: 𝑓(𝑥 + 𝛥𝑥) =  𝑓(𝑥 ) + (𝑑𝑓/𝑑𝑥)𝛥𝑥 + (1/2!)(𝑑2𝑓/𝑑𝑥2)(𝛥𝑥)2 + (1/3!)(𝑑3𝑓/𝑑𝑥3)(𝛥𝑥)3 + ∙∙∙   [7.10.1]
         ∘ Vector function: 𝑓(𝐱 + 𝛥𝐱) =  𝑓(𝑥 ) + (𝑑𝑓/𝑑𝐱) ∙ 𝛥𝐱 + (1/2!)(𝑑2𝑓/𝑑𝐱𝑑𝐱) : 𝛥𝐱 + (1/3!)(𝑑3𝑓/𝑑𝐱𝑑𝐱𝑑𝐱) : 𝛥𝐱 + ∙∙∙   [7.10.3]

I-8 Tensor와 좌표 변환 I
  
      a) 8.2 좌표 변환의 원리   <- 그림 8.1 참조
         ∘ 기저 벡터의 변환ē𝑖 = 𝑙𝑖𝑗 𝐞𝑗 = 𝐋 𝐞𝑗  <- 𝐋 = [𝑙𝑖𝑗]: 변환 tensor   [8.2.2]
                                         ⌈ ēi ⌉        ⌈  𝑙11   𝑙12   𝑙13 ⌉       ⌈ 𝐞i
                                        ┃ē2┃  =  ┃ 𝑙21   𝑙22   𝑙23┃     ┃𝐞2┃  [8.2.3]                                      
                                         ⌊ ē3 ⌋       ⌊  𝑙31   𝑙33   𝑙33 ⌋       ⌊ 𝐞3 ⌋    
                                        𝑙𝑖𝑗 ≡  ē𝑖 ∙  𝐞𝑗 = cos 𝜃𝑖𝑗 <- 𝜃𝑖𝑗: ē𝑖와 𝐞𝑗가 이루고 있는 각도   [8.2.4,5]
         ∘ Orthogonal(직교) tensor:  변환된 좌표계도 Cartesian 좌표계일 경우  
            𝐞𝑖 ∙ 𝐞𝑗 = δ𝑖𝑗,  ē𝑖ē𝑗 = δ𝑖𝑗,   𝑙𝑖𝑘 𝐞𝑘ē𝑗 = δ𝑖𝑗,  (∵ ē𝑖 = 𝑙𝑖𝑘 𝐞𝑘,  𝐞𝑘ē𝑗 =  𝑙𝑖𝑘),  𝑙𝑖𝑘 𝑙𝑘𝑗 = δ𝑖𝑗   [8.2.7-10]  
            ∴ 𝐋 ∙ 𝐋T = 𝐋T ∙ 𝐋 = 𝐈  → ※ 중요  𝐋-1 = 𝐋T 이면 orthogonal(직교) tensor라고 정의합니다.   [8.2.11,12]                   
         ∘ 좌표계의 역변환: 𝑙𝑖𝑘 ē𝑖 = 𝑙𝑖𝑘 𝑙𝑖𝑗 𝐞𝑗 = δ𝑗𝑘 𝐞𝑗,  ∴ 𝐞i = 𝑙𝑗𝑖 ē𝑗 = 𝐋T ē𝑗   [8.2.13,14]
      b) 8.3 좌표 회전 변환
           먼저 z축에 대한 반시계 방향 𝜃 만큼 회전 변환을 수행하는 경우를 예를 들어 설명합니다.
           𝐮 = u𝑖 𝐞𝑖에서 ū = ū𝑖 ē𝑖로 변환  <- ū = 𝐋 𝐮, ū𝑖 = 𝑙𝑖𝑗 u𝑖,  𝐋 = 𝑙𝑖𝑗   [8.3.1- 5]
                  ⌈ ū1 ⌉        ⌈  cos 𝜃    sin 𝜃   0  ⌉       ⌈ u1 ⌉    
                 ┃ū2┃  =   ┃-sin 𝜃    cos 𝜃   0 ┃     ┃u2
                  ⌊ ū3 ⌋        ⌊    0          0       1  ⌋       ⌊ u3 ⌋  
        ∘ x, y, z축에 대한 회전 변환 tensor들은 각각 다음과 같습니다.  
            [ 𝑙𝑖𝑗]x =                               [ 𝑙𝑖𝑗]y =                               [ 𝑙𝑖𝑗]z =
              ⌈   1       0          0    ⌉          ⌈  cos 𝜃   0   -sin 𝜃  ⌉           ⌈   cos 𝜃    sin 𝜃     0  ⌉                                                                                                
             ┃  0    cos 𝜃   sin 𝜃 ┃         ┃   0       1        0   ┃          ┃ -sin 𝜃    cos 𝜃    0  ┃    [8.3.6-8]  
              ⌊   0   -sin 𝜃   cos 𝜃  ⌋          ⌊  sin 𝜃    0   cos 𝜃  ⌋           ⌊     0          0         1  ⌋
        ∘ proper orthogonal translation(적합 직교 변환): det [𝑙𝑖𝑗] = 1,  오른손 좌표계로 변환함.
          improper orthogonal translation(부적합 직교 변환): det [𝑙𝑖𝑗] = -1,  왼손 좌표계로 변환함.
        ∘ 2차 tensor의 변환식
           임의의 tensor 𝐀 = A𝑖𝑗 𝐞𝑖 ⊗ 𝐞𝑗 = Ā𝑖𝑗 ē𝑖 ⊗ ē𝑗    [8.4.1]
           𝐞𝑖 = 𝑙𝑘𝑖 ē𝑘,  𝐞𝑗 = 𝑙𝑖𝑗 ē𝑙. ∴  A𝑖𝑗 𝐞𝑖 ⊗ 𝐞𝑗 = 𝑙𝑘𝑖𝑙𝑙𝑗 A𝑖𝑗 ē𝑘ē𝑙 = 𝑙𝑖𝑘𝑙𝑗𝑙 A𝑘𝑙 ē𝑖ē𝑗  <-  𝑖 ⇄ 𝑘, 𝑗 ⇄ 𝑙  지수 조정   [8.4.2,3]
           ∴ Ā𝑖𝑗 =  𝑙𝑖𝑘𝑙𝑗𝑙 A𝑘𝑙   [8.4.4]    
     c) 8.5 변환 tensor의 성질 <- ※ 좌표에 의한 미분
          x̄𝑖 = 𝑙𝑖𝑗 x𝑗,  좌표 x𝑗로 양변을 미분하면,  ∂x̄𝑖/∂x𝑗 = 𝑙𝑖𝑗   [8.5.1,2]
          역변환의 경우도  x𝑗 = 𝑙𝑗𝑖 ̄x𝑖,  ̄x𝑖로 양변을 미분하면,  ∂x𝑗/∂x̄𝑖 = 𝑙𝑗𝑖    [8.5.3,4]       
           ∴ ū𝑖 = 𝑙𝑖𝑗 u𝑗 = ∂x̄𝑖/∂x𝑗 u𝑗,  u𝑗 = 𝑙𝑗𝑖 ū𝑗 = ∂x𝑖/∂x̄𝑗 ū𝑖;  ∴ ē𝑖 = 𝑙𝑖𝑗 𝐞𝑗 = ∂x̄𝑖/∂x𝑗 𝐞𝑗,  𝐞𝑖 = 𝑙𝑗𝑖 ē𝑗 = ∂x𝑖/∂x̄𝑗 ē𝑗   [8.5.5-8]
           ∴ Ā𝑖𝑗 = 𝑙𝑖𝑘𝑙𝑗𝑙 A𝑘𝑙 = (∂x̄𝑖/∂x𝑘)(∂x̄𝑗/∂x𝑙) A𝑘𝑙,  A𝑖𝑗 = 𝑙𝑘𝑖𝑙𝑙𝑗 Ā𝑘𝑙 = (∂x𝑖/∂x̄𝑘)(∂x𝑗/∂x̄𝑙) Ā𝑘𝑙   [8.5.9,10]
      d) 8.6 이동 및 반사 변환  <- 그림 8.2 참조   
         ∘ 회전-이동 변환:  x̄𝑖 = 𝑙𝑖𝑗 xj - 𝑑𝑖, 양변을 미분하면,  ∂x̄𝑖/∂x𝑗= 𝑙𝑖𝑗   [8.6.1,2]
         ∘ 반사 변환:  [𝑙𝑖𝑗] =     <- ex) y-z 평면에 대한 반사 변환;  det [𝑙𝑖𝑗] = -1  <- 부적합 직교 변환   [8.6.3]     
                              ⌈ -1  0  0 ⌉                                        
                             ┃ 0  1  0 ┃   
                              ⌊  0  0  1  ⌋
      e) 8.7 Jacobian  <- ※ 좌표 변환의 determinant 決定素
              𝑱  =          <- x̄ = x̄ (x1, x2, x3)으로 주어진 경우                    
                ∣ ∂x̄1/∂x1  ∂x̄1/∂x2   ∂x̄1/∂x3 ∣           ⌈ 𝑱 ≠ 0  : 좌표 변환 가능함.                       
                ∣ ∂x̄2/∂x1  ∂x̄2/∂x2   ∂x̄2/∂x3 ∣    <-  ┃ 𝑱 > 0 : 오른손 좌표계인 경우   [8.7.1]  
                ∣ ∂x̄3/∂x1  ∂x̄3/∂x2   ∂x̄3/∂x3 ∣           ⌊ 𝑱 < 0 : 왼손  좌표계인 경우         
      f) 8.8 isotropic(등방) tensor  
          회전 변환 시에 성분의 변화가 없는 tensor를 지칭 →  scalar, 𝟎 vector (1차 tensor 중 유일함)
          2차 tensor Ā𝑖𝑗 = 𝑙𝑖𝑘𝑙𝑗𝑙 A𝑘𝑙 회전 변환식에서, Ā𝑖𝑗 = A𝑖𝑗 성분 불변의 조건이 만족되어야 함.
     g) 8.9 미분 성분의 좌표 변환  
         ∘ Gradient 좌표 변환: scalar field 𝜙̄ = 𝜙  (∵ scalar는 좌표 변환에 불변)
            𝛁𝜙̄ = ∂𝜙̄ /∂x̄𝑖 ē𝑖 = ∂𝜙/∂x̄𝑖 ē𝑖;  ∂𝜙/∂x̄𝑖 = (∂𝜙/∂x𝑘)(∂x𝑘/∂x̄𝑙) = 𝑙𝑖𝑘 (∂𝜙/∂x𝑘)    [8.9.1,2]
            𝛁𝜙̄ = ∂𝜙̄ /∂x̄𝑖 ē𝑖 = 𝑙𝑖𝑘 (∂𝜙/∂x𝑘) ē𝑖   [8.9.3]
         ∘ Divergence 좌표 변환: ※ 좌표계와 무관하게 불변
            𝛁 ∙ 𝐮 = ∂/∂x̄𝑖 ē𝑖 ∙ ū𝑗 ē𝑗 = ∂ū𝑖/∂x̄𝑖 = ∂/∂x𝑘 (𝑙𝑖𝑗u𝑗) ∂x𝑘/∂x̄ 𝑖 = 𝑙𝑖𝑗𝑙𝑖𝑘 ∂u𝑗/∂x𝑘 = ∂u𝑘/∂x𝑘  <- 직교 변환 𝑙𝑖𝑗𝑙𝑖𝑘= 𝛿𝑗𝑘   [8.9.6-8]
         ∘ Curl 좌표 변환: ※ 순환 기호는 회전에 등방성 → 𝑒̄ 𝑖𝑗𝑘 = 𝑒𝑖𝑗𝑘
           𝛁 ⨯ 𝐮 = 𝑒̄ 𝑖𝑗𝑘 ∂ū𝑗/∂x̄𝑖 ē𝑘 = 𝑒𝑖𝑗𝑘 (∂𝑗/∂xp)(𝑙𝑗𝑞u𝑞)(∂x𝑝/∂x̄𝑖) ē𝑘 = 𝑒𝑖𝑗𝑘 𝑙𝑗𝑞 𝑙𝑖𝑝 (∂u𝑞/∂x𝑝) ē𝑘  [8.9.9]
         ∘ 시간의 미분: vector 변환 법칙을 만족
           속도 𝐯 = 𝑑𝐫/𝑑𝑡 (𝐫은 위치 vector, 𝑡는 시간),  𝑣̄i =  𝑑𝑟̄𝑖/𝑑𝑡 = (𝑑/𝑑𝑡)(𝑙𝑖𝑗𝑟j) = 𝑙𝑖𝑗 (𝑑𝑟𝑗/𝑑𝑡) = 𝑙𝑖𝑗 𝑣𝑖   [8.9.10,11]


Name
Spamfree

     여기를 클릭해 주세요.

Password
Comment

  답글쓰기   목록보기
번호 제               목 이름 연관 날짜 조회
공지  [소개글] '현대 우주론'에 관한 논의의 장    김관석 1 2017-08-15
11:36:55
428
81  2019년 노벨상 - Peebles's 물리적 우주론    김관석 1 2019-10-14
19:30:49
71
80  일반 상대성(GR) 1: Equivalence Principle    김관석 5 2019-09-06
09:38:00
679
79    일반 상대성(GR) 2: Newtonian Theory    김관석 5 2019-09-06
09:38:00
679
78      일반 상대성(GR) 3: Special Relativity; Geodesics    김관석 5 2019-09-06
09:38:00
679
77        일반 상대성(GR) 4: Einstein's Equation / Supplement    김관석 5 2019-09-06
09:38:00
679
76          일반 상대성(GR) 5: Schwarzschild Solutions etc.    김관석 5 2019-09-06
09:38:00
679
75  미분기하학 1: Curves and Surfaces    김관석 4 2019-06-16
16:55:58
1168
74    미분기하학 2: Fundamental Form I and II    김관석 4 2019-06-16
16:55:58
1168
73      미분기하학 3: Gauss Curvature; Geodesics    김관석 4 2019-06-16
16:55:58
1168
72        미분기하학 4: Curvature Tensor etc.    김관석 4 2019-06-16
16:55:58
1168
71  5/28 홍천 군업리의 은하수    김관석 1 2019-05-30
01:20:31
132
70  Tensor 해석 I-1: Dyad와 Tensor의 연산    김관석 5 2019-07-02
16:01:21
2568
   Tensor 해석 I-2: Tensor 미적분; 좌표변환 I    김관석 5 2019-07-02
16:01:21
2568
68      Tensor 해석 II-1: 일반 좌표계와 Tensor의 연산    김관석 5 2019-07-02
16:01:21
2568
67        Tensor 해석 II-2: 좌표변환 II; 일반 좌표계와 미분    김관석 5 2019-07-02
16:01:21
2568
66          Tensor 해석 II-3: 동일 적분; 미분기하학의 응용    김관석 5 2019-07-02
16:01:21
2568
65  에릭 베를린더의 A New View on Gravity    김관석 1 2019-02-03
21:27:44
183
64  상대성 이론(SR/GR)의 학습 과정  [1]  김관석 1 2018-07-15
15:31:25
205
63  특수 상대성(SR) I-1: Intervals; Time Delay    김관석 4 2018-07-05
06:34:56
825

    목록보기   다음페이지     글쓰기 1 [2][3][4][5]
    

Copyright 1999-2019 Zeroboard / skin by zero & Artech