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II-1 일반 좌표계와 Tensor
a) General coordinate(일반 좌표계)와 tensor <- 그림 11.4 참조
∘ Cartesian coordinates(좌표계): 𝐱1= x, 𝐱2= y, 𝐱3= z, 𝐮 = 𝑢1𝐞1 + 𝑢2𝐞2 + 𝑢3𝐞3
∘ Cylindrical coordinates(원통 좌표계): 𝜉1= 𝑟, ξ2= 𝜃, 𝜉3= z, 𝐱1= 𝑟 cos𝜃, 𝐱2 = r sin𝜃, x3 = z
∘ Sphrical coordinates(구 좌표계): 𝜉1= 𝜌, 𝜉2= 𝜃, 𝜉3= 𝜙, 𝐱1= 𝜌 sin𝜃 cos𝜙, 𝐱2= 𝜌 sin𝜃 sin𝜙, 𝐱3= 𝜌 cos𝜃
∘ Curviinear coordinates(곡선 좌표계) → general coordinate(일반 좌표계)로 지칭되기도 함.
다른 좌표계들과 달리 특정의 reference point(기준점)이 없으며 Cartesian 좌표계의 원점에 대한 상대적인 위치에서 정해집니다.
curvilinear 좌표계는 global coordinate(광역 죄표계)인 Cartesian 좌표계와 달리 local coordinate(국소 좌표계)라고 부릅니다.
위 그림에서 보듯이 Cartesian 좌표계에서 임의 거리만큼 떨어진 한점까지를 잇는 vector를 위치 vector 𝐱 라고 표기합니다.
이 점에서 curvilinear 좌표계는 좌표계의 components(성분)에 따른 곡면을 가지게 됩니다.
b) 일반 좌표계(곡선 좌표계)에서의 표기법
∘ 일반 좌표계의 vector 𝐮 = 𝑢i 𝐠i = 𝑢i 𝐠i <- Einstein's summation convention, 중복지수는 위와 아래로 교차해야 함.
𝐮 = 𝑢i 𝐠i = 𝑢1𝐠1 + 𝑢2𝐠2 + 𝑢3𝐠3 <- 𝑢i: contravariant component(반변 성분), 𝐠i: natural basis(자연 기저)tensor로 정의함,
𝐮 = 𝑢i 𝐠i = 𝑢1𝐠1 + 𝑢2𝐠2 + 𝑢3𝐠3 <- 𝑢i: covariant component(공변 성분), 𝐠i: reciprocal basis(역기저) tensor로 정의함.
∘ 2차 tensor 표기법: 다음의 4가지로 표현될 수 있습니다.
𝐀 = 𝐴ij 𝐠i⊗ 𝐠j = 𝐴ij 𝐠i⊗ 𝐠j = 𝐴i,j 𝐠i⊗ 𝐠j = 𝐴i,j 𝐠i⊗ 𝐠j <- contravant(반변), covariant(공변) and mixed(혼합) components
c) General(일반) tensor의 성질
∘ Tanspose(전치): 𝐀T = (𝐴ij)T 𝐠i⊗ 𝐠j = 𝐴ji 𝐠i⊗ 𝐠j = 𝐴ij 𝐠j⊗ 𝐠i, (𝐴ij)T = 𝐴ji, (𝐴ij)T = 𝐴ji, (𝐴i,j)T = 𝐴j,i
symmetric(대칭) tensor: 𝐀T = 𝐀 ↦ sym𝐀 <- square matrix
skew-symetric(반대칭) tensor: 𝐀T = -𝐀 ↦ skew𝐀 <- square matrix
𝐀 = sym𝐀 + skew𝐀, sym𝐀 = 1/2 (𝐀 + 𝐀T), skew𝐀 = 1/2 (𝐀 - 𝐀T) <- Toeplitz decomposition ※ 'Symmetric matrix' [link]
∘ 덧셈과 뺄셈: 동일한 basis(기저)를 갖는 component 간에 가능
ex1) 𝐀 - 𝐁 = (𝐴ij - 𝐵ij) 𝐠i ⊗ 𝐠j = 𝑇ij = 𝐓, ex1) 𝐀 - 𝐁 = (𝐴i,j - 𝐵i,j) 𝐠i ⊗ 𝐠j = 𝑇i,j = 𝐓
d) General tensor의 유용성: 좌표계에 무관한 수식 표현이 가능하므로, Einstein에 의해 상대성 원리(GR)에 활용되었음!
Cartesian 좌표계에서: ex) velocity 𝐯 = 𝑣i𝐞i, 𝑣i = 𝑎i𝑡, 𝑣i𝐞i = 𝑎i𝐞i𝑡 ∴ 𝐯 = 𝐚𝑡 <- 𝐚: acceleration, 𝑡: time
General 좌표계에서: ex) velocity 𝐯 = 𝑣i𝐠i, 𝑣i = 𝑎i𝑡, 𝑣i𝐠i = 𝑎i𝐠i𝑡 ∴ 𝐯 = 𝐚𝑡 <- 𝐚: acceleration, 𝑡: time
II-2 일반 좌표계에서의 연산
a) Inner product(내적)
∘ Metric tensor: 𝑔𝑖𝑗 ≡ 𝐠i ∙ 𝐠j, 𝐚 ∙ 𝐛 = 𝑎i𝑏j 𝐠i ∙ 𝐠j= 𝑎i𝑏j 𝑔𝑖𝑗
∘ Kronecker delta: 𝛿𝑖𝑗 ≡ 𝐠i ∙ 𝐠j = {0 (i≠j); 1 (i=j)}, 𝐚 ∙ 𝐛 = 𝑎i𝑏j 𝐠i ∙ 𝐠j = 𝑎i𝑏j 𝛿𝑖𝑗 = 𝑎i𝑏i <- index 교환 (j→i of 𝑏)
∘ Reciprocal(역) metric tensor: 𝑔𝑖𝑗 ≡ 𝐠i ∙ 𝐠j, 𝐚 ∙ 𝐛 = 𝑎i𝑏j 𝐠i ∙ 𝐠j = 𝑎i𝑏j 𝑔𝑖𝑗
∘ Unit(단위) tensor: 𝐈 = 𝛿𝑖𝑗 𝐠i ⊗ 𝐠j = 𝐠i ⊗ 𝐠i, 𝐈 = 𝐈T = 𝛿𝑗𝑖 𝐠i ⊗ 𝐠j = 𝐠j ⊗ 𝐠j ∴ 𝐈 = 𝐠i ⊗ 𝐠i = 𝐠i ⊗ 𝐠i
∘ Index 기호∙위치 바꾸기: metric tensor/reciprocal metric tensor는 근접해 있는 index의 기호와 위치를 동시에 바꿈.
𝑎i𝑏j 𝐠i ∙ 𝐠j = 𝑎i𝑏j 𝑔𝑖𝑗 = 𝑎i𝑏i, 𝑎i 𝑏j 𝐠i ∙ 𝐠j = 𝑎i𝑏j 𝛿𝑗𝑖 = 𝑎i 𝑏i, 𝑎i 𝑏j 𝐠i ∙ 𝐠j = 𝑎i𝑏j 𝛿𝑖𝑗 = 𝑎i𝑏i, 𝑎i𝑏j 𝐠i ∙ 𝐠j = 𝑎i𝑏j 𝑔𝑖𝑗 = 𝑎i𝑏i ∴ 𝐚 ∙ 𝐛 = 𝑎i𝑏j = 𝑎i𝑏j
b) Inner product 응용
∘ Basis vector의 변환: 𝐠i = 𝑔𝑖𝑗 𝐠j, 𝐠i = 𝑔𝑖𝑗 𝐠j
∘ Metric tensor 관계식: [𝑔𝑖𝑗] = [𝑔𝑖𝑗]-1 ∵ 𝑔𝑖𝑗 ∙ 𝑔𝑖𝑗 = 𝐠i ∙ 𝐠j ∙ 𝐠i ∙ 𝐠j = 𝐠i ∙ 𝐠j ∙ 𝐠j ∙ 𝐠i = 𝛿𝑖𝑗 𝛿𝑗𝑖 = 𝐈
∘ Trace(대각합): tr(𝐀) = 𝐀 : 𝐈 = 𝐴i,i, tr(𝐀2) = tr(𝐀 ∙ 𝐀) = 𝐀 : 𝐀 = 𝐴i,j𝐴j,i, (tr(𝐀))2 = tr(𝐀) tr(𝐀) = 𝐴i,i 𝐴j,j
∘ Vector의 크기: vector 𝐧 = 𝑛i𝐠i의 크기 ↦ ∥𝐧∥= √ (𝐧 ∙ 𝐧) = √ (𝑛i𝐠i ∙ 𝑛j𝐠j) = √ (𝑛i 𝑛j𝑔𝑖𝑗) = √ (𝑛i𝑛i) ∴∥𝐧∥= √ (𝐧 ∙ 𝐧) = √ (𝑛i𝑛i)
∘ Basis vector의 크기: ∥𝐠i∥= √ (𝐠ḭ ∙ 𝐠ḭ) = √ 𝑔𝑖𝑖, ∥𝐠i∥= √ (𝐠ḭ ∙ 𝐠ḭ) = √ 𝑔𝑖𝑖 <- ḭ : dummy index(중복지수) 미적용 표기임.
c) Tensor component 변환
∘ Tensor component 구하기: 원하는 component 의 dot product <- 1차 tensor 는 1회, 2차 tensor는 2회
ex1) 𝐮 ∙ 𝐠j = 𝑢i𝐠i ∙ 𝐠j = 𝑢i𝛿𝑖𝑗 = 𝑢j ex2) 𝐠k ∙ 𝐀 ∙ 𝐠l = 𝐠k ∙ (𝐴ij𝐠i ⊗ 𝐠j) ∙ 𝐠l = 𝐴ij(𝐠k ∙ 𝐠i)(𝐠j ∙ 𝐠l) = 𝐴ij𝛿𝑘𝑖𝑔𝑗𝑙 = 𝐴,𝑙𝑘 <- dyad 연산 참조
∘ Tensor 구성하기: (basis vector)(component) ex) 𝐠j(𝐮 ∙ 𝐠j) = 𝐠j𝑢j = 𝐮, 𝐠j(𝐮 ∙ 𝐠j) = 𝐠j𝑢j = 𝐮
∘ Tensor component 변환 절차: (contravaniant component) ⇄ (covariant component)
1) metric tensor 구하기: 𝐚 = 𝑢i𝐠i (contavariant component와 natural basis vector가 주어짐) 경우; 𝑔𝑖𝑗 = 𝐠i ∙ 𝐠j <- [𝑔𝑖𝑗]
2) reciprocal metric tensor 구하기: 𝑔𝑖𝑗 <- [𝑔𝑖𝑗] = [𝑔𝑖𝑗]-1 관계식으로 부터
3) reciprocal basis vector 구하기: 𝐠i = 𝑔𝑖𝑗𝐠j
4) 변환된 component 구하기: 𝑢i = 𝑔𝑖𝑗𝑢j
5) 변환된 tensor 구성함: 𝐮 = 𝑢i𝐠i <- covariant → contravariant 의 경우 유사 방식으로 수행함.
d) Outer product(외적)
∘ 𝐠i X 𝐠j ≡ 𝝐𝑖𝑗𝑘𝐠k, 𝐚 X 𝐛 = 𝝐𝑖𝑗𝑘𝑎i𝑏j𝐠k <- 𝝐𝑖𝑗𝑘: permuation symbol in general coordinate, natural basis vector
∘ 𝐠i X 𝐠j ≡ 𝝐𝑖𝑗𝑘𝐠k, 𝐚 X 𝐛 = 𝝐𝑖𝑗𝑘𝑎i𝑏j𝐠k ∴ 𝐚 X 𝐛 = 𝝐𝑖𝑗𝑘𝑎i𝑏j𝐠k = 𝝐𝑖𝑗𝑘𝑎i𝑏j𝐠k
e) Triple inner product(삼중 내적) <- 그림 12.1 참조
(𝐚 X 𝐛) ∙ 𝐜 = 𝝐𝑖𝑗𝑘𝑎i𝑏j𝐠k ∙ 𝑐l𝐠l = 𝝐𝑖𝑗𝑘𝑎i𝑏j𝑐l𝐠k ∙ 𝐠l = 𝝐𝑖𝑗𝑘𝑎i𝑏j𝑐l𝛿𝑘𝑙 = 𝝐𝑖𝑗𝑘𝑎i𝑏j𝑐k = 𝝐𝑖𝑗𝑘𝑎i𝑏j𝑐k
∘ Permutation symbol 정의: 𝝐𝑖𝑗𝑘 ≡ (𝐠i X 𝐠j) ∙ 𝐠k <- 𝐄 = 𝝐𝑖𝑗𝑘𝐠i ⊗ 𝐠j ⊗ 𝐠k의 covariant component
⌈ 𝑉g (123, 231, 312)
𝝐𝑖𝑗𝑘 = ┃ -𝑉g (321, 132, 213) <- 𝑉g: 3개 basis vector들로 이루어진 평행육면체(parallelepiped)의 체적
⌊ 0 (223, 331 기타)
∘ Reciprocal basis vector: 𝐠1 = (𝐠2 X 𝐠3)/ 𝑉g, 𝐠2 = (𝐠3 X 𝐠1)/ 𝑉g, 𝐠3 = (𝐠1 X 𝐠2)/ 𝑉g
∘ Reciprocal permutation symbol: 𝝐𝑖𝑗𝑘 ≡ (𝐠i X 𝐠j) ∙ 𝐠k <- 𝐅 = 𝝐𝑖𝑗𝑘𝐠i ⊗ 𝐠j ⊗ 𝐠k의 contravariant component
⌈ 1/𝑉g (123, 231, 312)
𝝐𝑖𝑗𝑘 = ┃ -1/𝑉g (321, 132, 213) <- 𝑉g: 3개 basis vector들로 이루어진 평행육면체(parallelepiped)의 체적
⌊ 0 (223, 331 기타)
f) 수학적 유도 과정
∘ Permutation symbol 관계식: 𝝐𝑖𝑗𝑘 = 𝑉g𝑒𝑖𝑗𝑘 <- Cartesian 좌표계의 permutation symbol 의 사용 가능
∘ Triple inner product 값의 유도: (𝐠i X 𝐠j ∙ 𝐠k)(𝐠p X 𝐠q ∙ 𝐠r) = 𝝐𝑖𝑗𝑘 𝝐𝑝𝑞𝑟 <- 𝐼-6 c) 참조, metric tensor 적용
┃𝐠i ∙ 𝐠p 𝐠i ∙ 𝐠q 𝐠i ∙ 𝐠r┃ ┃𝑔ip 𝑔iq 𝑔ir┃
𝝐𝑖𝑗𝑘 𝝐𝑝𝑞𝑟 = ┃𝐠j ∙ 𝐠p 𝐠j ∙ 𝐠q 𝐠j ∙ 𝐠r┃= ┃𝑔jp 𝑔jq 𝑔jr┃ ↦ det [𝐠ij], 𝗴 ≡ det [𝐠ij],
┃𝐠k ∙ 𝐠p 𝐠k ∙ 𝐠q 𝐠k ∙ 𝐠r┃ ┃𝑔kp 𝑔kq 𝑔kr┃
basis vector (𝝐123)2 = det [𝐠ij] {i, j = 1, 2, 3} = ğ, 𝝐123 = √ ğ = 𝑉ğ ∴ 𝝐𝑖𝑗𝑘 = 𝑉g𝑒𝑖𝑗𝑘 = √ 𝗴 𝑒𝑖𝑗𝑘
∘ Reciprocal permutation symbol: 𝝐𝑖𝑗𝑘 = 𝐠i X 𝐠j ∙ 𝐠k 𝝐𝑖𝑗𝑘 = (1/√ 𝗴) 𝑒𝑖𝑗𝑘 <- 유도 과정은?
g) Eigenvalue 관련
(𝐀 - λ𝐈) ∙ 𝐱 = 0 λ: eigenvalue, 𝐱: eigenvector
det (𝐀 - λ𝐈) = 0
λ3 - 𝐼 λ2 + 𝐼𝐼 λ2 - 𝐼𝐼𝐼 = 0 <- 𝐼, 𝐼𝐼, 𝐼𝐼𝐼: invariant scalars
𝐼 = tr𝐀 = 𝐴i.i 𝐼𝐼 = 1/2 [(tr𝐀 )2 - (tr(𝐀 2)] = 1/2 [(𝐴i.i 𝐴j.j - 𝐴i.j 𝐴i.j)] 𝐼𝐼𝐼 = det 𝐀 = 𝑒𝑖𝑗𝑘 𝐴i.1 𝐴j.2 𝐴k.3
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