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텐서(Tensor) 해석 II-2
    김관석  (Homepage) 2019-06-03 23:41:00, 조회수 : 133
- Download #1 : Tensor_II_2.jpg (55.1 KB), Download : 0



II-3 좌표의 변환 II
  
      a) Basis vector의 수학적 유도   <- 그림 13.1, 13. 2 참조
        ∘ R3 공간에서 점 P는 Cartesian 좌표계에서는 (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3), 일반 좌표계에서는 (𝜉1, 𝜉2, 𝜉3) 로 표기할 수 있습니다.
              두 좌표계 사이에 서로 변환이 가능하다고 할 때 그 관계식은  𝑥𝑖 =  𝑥𝑖(𝜉1, 𝜉2, 𝜉3),  𝜉𝑖 =  𝜉𝑖(𝑥1,  𝑥2, 𝑥3)가 됩니다.
        ∘ 점 P의 기준점으로부터의 위치 벡터는 𝐱 =  𝐱(𝜉1, 𝜉2, 𝜉3)로 표기할 수 있습니다.  
        ∘  natural basis vector(자연 기저 벡터)의 정의: 𝐠𝑖 ≡ ∂𝐱/∂𝜉𝑖  <- 좌표값이 증가하는 방향의 tangent vector
        ∘ 점 P는 Cartian 좌표계로는 𝐱 = 𝑥1𝐞1+ 𝑥2𝐞2+ 𝑥3𝐞3= 𝑥𝑖𝐞𝑖이므로, 𝐠𝑖 = ∂𝐱/∂𝜉𝑖 = (𝑥𝑗/∂ξ𝑖)𝐞𝑗라고 표기할 수 있습니다.
        ∘  reciprocal basis vector(역기저 벡터)의 정의: 𝐠𝑖 ≡ ∂𝜉𝑖/∂𝐱 = (∂𝜉𝑖/∂𝑥𝑗)𝐞𝑗 <-  𝐠𝑗 ∙ 𝐠𝑖 = 𝛿𝑗𝑖 ∴ 상호 직교함 ※
        ∘  𝐞𝑖 = (∂𝜉𝑗/∂𝑥𝑖)𝐠𝑗   𝐞𝑖 = (∂𝜉𝑖/∂𝑥𝑗)𝐠𝑗  <- Cartesian 좌표계에는 covariant와 contaravariant 구분이 없으므로 𝐞𝑖 = 𝐞𝑖
      b) Metric tensor의 의미
        ∘ Cartesian 좌표계에서:
          𝐱 = 𝑥1𝐞1+ 𝑥2𝐞2+ 𝑥3𝐞3= 𝑥𝑖𝐞𝑖   𝑑𝐱 = 𝑑𝑥1𝐞1+ 𝑑𝑥2𝐞2+ 𝑑𝑥3𝐞3= 𝑑𝑥𝑖𝐞𝑖   𝑑𝑠2 = 𝑑𝐱 ∙ 𝑑𝐱 = 𝑑𝑥𝑖 ∙ 𝑑𝑥𝑗 = 𝑑𝑥𝑖𝑑𝑥𝑗𝛿𝑖𝑗 = 𝑑𝑥𝑖𝑑𝑥𝑖
        ∘ General 좌표계에서:
          𝑑𝐱 = (∂𝐱/∂𝜉𝑖)𝑑𝜉𝑖   𝑑𝐱 = 𝐠𝑖𝑑𝜉𝑖   𝑑𝑠2 = 𝑑𝐱 ∙ 𝑑𝐱 =  𝑑𝜉𝑖𝐠𝑖 ∙ 𝑑𝜉𝑗𝐠𝑗  = 𝑔𝑖𝑗𝑑𝜉𝑖𝑑𝜉𝑗  <-  metric tensor 𝑔𝑖𝑗 = 𝐠𝑖 ∙ 𝐠𝑗       
      c) 좌표 변환의 조건
        ∘ Jacobian
          Cartesian 좌표계의 (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3)에서 general 좌표계의(𝜉1, 𝜉2, 𝜉3)의 변환 Jacobian은 𝐽로 표기합니다.
                                       ┃∂𝑥1/∂𝜉1  ∂𝑥1/∂𝜉2  ∂𝑥1/∂𝜉3┃ 
             𝐽 ≡ det(∂𝑥𝑗/∂𝜉𝑖) = ┃∂𝑥2/∂𝜉1  ∂𝑥2/∂𝜉2  ∂𝑥2/∂𝜉3
                                       ┃∂𝑥 3/∂𝜉1  ∂𝑥3/∂𝜉2  ∂𝑥3/∂𝜉3
             𝐽 =  𝜖𝑖𝑗𝑘 (∂𝑥𝑖/∂𝜉1)(∂𝑥𝑗/∂𝜉2)(∂𝑥𝑘/∂𝜉3) = (∂𝐱/∂𝜉1) ⨯ (∂𝐱/∂𝜉2) ∙ (∂𝐱/∂𝜉3) = 𝐠1 X 𝐠2 ∙ 𝐠3 = 𝜖𝑖𝑗𝑘 = √ 𝑔  <- g = det [g𝑖𝑗]>(∂𝜀̄
             𝐽  > 0 : 오른손 법칙의 좌표계로의 변환,  𝐽  < 0 : 왼손 법칙의 좌표계로의 변환,    𝐽 = 0   변환 불가
     d) Tensor의 좌표 변환:  𝐮 = 𝑢𝑖𝐠𝑖 or 𝑢𝑖𝐠𝑖  ⇄   𝐮̄ = 𝑢̄ 𝑖𝐠̄ 𝑖 or 𝑢̄ 𝑖𝐠̄ 𝑖;  𝐠𝑖= ∂𝐱/∂𝜀𝑖 𝐠𝑖= ∂𝐱/∂𝜀𝑖 𝐠̄𝑖 = ∂𝐱/𝜀̄ 𝑖 𝐠̄𝑖 = ∂𝐱/𝜀̄ 𝑖 <- 𝜉 𝜉̄ → 𝜀 𝜀̄          
         ∘ 𝑙𝑖𝑗 = 𝐠̄𝑖 ∙ 𝐠𝑗 = ∂𝐱/∂𝜀̄ 𝑖 ∙ ∂𝐱/∂𝜀𝑗 = (∂𝜀𝑘/∂𝜀̄ 𝑖)(∂𝐱/∂𝜀𝑘) ∙ ∂𝐱/∂𝜀𝑗 = (∂̄𝜀𝑘/∂𝜀̄ 𝑖) 𝐠𝑘 ∙ 𝐠𝑗 = 𝑔𝑘𝑗(∂̄𝜀𝑘/∂𝜀̄ 𝑖) =  ∂̄𝜀𝑗/∂𝜀̄ 𝑖
         ∘ 𝐮 = 𝑢𝑖𝐠𝑖 → 𝐮 = 𝑢̄ 𝑖𝐠̄ 𝑖;  𝐮 ∙ 𝐠̄ 𝑗 = 𝑢𝑖𝐠𝑖 ∙ 𝐠̄ 𝑗 = 𝑢𝑖 𝑙𝑗𝑖;  [∵ 𝐮 ∙ 𝐠̄ 𝑗 = 𝑢̄𝑗]  𝑢̄𝑗 = 𝑢𝑖𝑙𝑗𝑖 ∴ 𝑢̄𝑖 = 𝑙𝑖𝑗𝑢𝑗
         ∘ 𝑢̄𝑖 = 𝑙𝑖𝑗𝑢𝑗,  𝑢̄𝑖 = 𝑙𝑖.𝑗𝑢𝑗,  𝑢̄ 𝑖 = 𝑙𝑖.j𝑢𝑗,  𝑢̄ 𝑖 = 𝑙𝑖𝑗𝑢𝑗  <- 변환 tensor는 contravariant component ⇄ covariant component 역할
         ∘ 𝑙𝑖𝑗 =  ∂̄𝜀𝑗/∂𝜀̄ 𝑖 = ∂̄𝜀̄ 𝑖/∂𝜀𝑗,  𝑙𝑖𝑗 =  ∂̄𝜀̄ 𝑖/∂𝜀𝑗 = ∂̄𝜀𝑗/∂̄𝜀̄ 𝑖,   𝑙𝑖.𝑗 =  ∂̄𝜀̄ 𝑖/∂𝜀𝑗,   𝑙𝑖.𝑗 =  ∂𝜀𝑗/∂𝜀̄ 𝑖
      e) 좌표 변환과 tensor의 정의
         ∘ contravariant tensor: 임의의 vector를 각각의 좌표계에서 고려하면 𝐮 = 𝑢̄ 𝑗𝐠̄ 𝑗 = 𝑢𝑗𝐠𝑗이므로, 
               𝑢̄ 𝑗(∂𝐱/∂𝜀̄ 𝑗) = 𝑢𝑗(∂𝐱/∂𝜀𝑗),  𝑢̄ 𝑗(∂𝐱/∂𝜀̄ 𝑗)(∂𝜀𝑖/∂𝐱) = 𝑢𝑗(∂𝐱/∂𝜀𝑗)(∂𝜀𝑖/∂𝐱),  𝑢̄ 𝑗𝛿ij = 𝑢𝑗(∂𝜀̄ 𝑖/∂𝜀𝑗)  ∴ 𝑢̄ 𝑖 = 𝑢𝑗𝑖/∂𝜀𝑗)
         ∘ covariant tensor: 유사한 방식으로 유도 하면,  𝑢̄ 𝑖 = 𝑢𝑗(∂𝜀𝑗/∂𝜀̄ 𝑖)
         ∘ 2차 tensor의 변환 법칙;  contravariant tensor𝐴̄ 𝑖𝑗 =  𝐴𝑘𝑙(∂𝜀̄ 𝑖/∂𝜀𝑘)(∂𝜀̄ 𝑗/∂𝜀𝑙)  
               covariant tensor𝐴̄ 𝑖𝑗 =  𝐴𝑘𝑙(∂𝜀𝑘/∂𝜀̄ 𝑖)(∂𝜀𝑙/∂𝜀̄ 𝑗),   혼합 tensor: 𝐴̄ 𝑖.𝑗 =  𝐴𝑘.𝑗(∂𝜀̄ 𝑖/∂𝜀𝑘)(∂𝜀𝑙/∂𝜀̄ 𝑗)       
       f) Physical component의 정의   * 아래 metric tensor에는 dummy index 미적용
         ∘ normalization of basis(기저의 정규화): 𝐞𝑖 = 𝐠𝑖/∥𝐠∥= 𝐠𝑖/√ 𝑔𝑖𝑖 or  𝐠𝑖 = √ 𝑔𝑖𝑖𝐞𝑖 마찬가지로  𝐠𝑖 = √ 𝑔𝑖𝑖𝐞𝑖
         ∘ physical component(물리적 성분): 𝐯 = 𝑣(𝑖)𝐞𝑖 = 𝑣(𝑖)𝐞𝑖;   𝑣(𝑖) = 𝑣𝑖√ 𝑔𝑖𝑖 또한 𝑣(𝑖) = 𝑣𝑖√ 𝑔𝑖𝑖
               2차 tensor: 𝐀 = 𝐴𝑖𝑗𝐠𝑖 ⊗ 𝐠𝑖𝐴(𝑖𝑗) = 𝐴𝑖𝑗√ (𝑔𝑖𝑖𝑔𝑗𝑗),  𝐴(𝑖𝑗) = 𝐴𝑖𝑗√ (𝑔𝑖𝑖𝑔𝑗𝑗),  𝐴(𝑖)𝐴(.𝑗) = 𝐴𝑖.𝑗√ (𝑔𝑖𝑖/𝑔𝑗𝑗)  

II-4 일반 좌표계에서의 미분

      a) Scala의 미분: ∂𝜙/∂𝜉𝑗 or 𝜙.𝑗
      b) Vector의 미분           
         ∘ contravariant vector 미분: ∂𝐮/∂𝜉𝑗 = (∂/∂𝜉𝑗)𝑢𝑖𝐠𝑗 = (∂𝑢𝑖/∂𝜉𝑗)𝐠𝑖 + 𝑢𝑖(∂𝐠𝑖/∂𝜉𝑗) = 𝑢𝑖.𝑗𝐠𝑖 +  𝑢𝑖𝐠𝑖.𝑗  
               𝐠𝑖.𝑗 = ∂(∂𝐱/∂𝜉 𝑖)/∂𝜉𝑗 = ∂2𝐱/∂𝜉𝑖∂𝜉𝑗 = (∂2𝑥m/∂𝜉𝑖∂𝜉𝑗)𝐞𝑚 = (∂2𝑥m/∂𝜉𝑖∂𝜉𝑗)(∂𝜉𝑛/𝑥𝑚)𝐠𝑛 = 𝜞𝑛𝑖𝑗 𝐠𝑛  <-  𝐠𝑖≡ ∂𝐱/∂𝜉 𝑖,  𝐠𝑖.𝑗=  𝐠𝑗.𝑖
         ∘ 2종 Christoffel 기호: 𝜞𝑛𝑖𝑗 ≡ (∂2𝑥𝑚/∂𝜉𝑖∂𝜉𝑗)(∂𝜉𝑛/∂𝑥𝑚),  𝐠𝑖.𝑗∙ 𝐠𝑘 = 𝜞𝑛𝑖𝑗 𝐠𝑛∙ 𝐠𝑘 = 𝜞𝑛𝑖𝑗 𝛿𝑘𝑛 = 𝜞𝑘𝑖𝑗                         
         ∘ contravariant 성분의 covariant 미분: ∂𝐮/∂𝜉𝑗 = 𝑢𝑖.𝑗𝐠𝑖+ 𝑢𝑘𝜞𝑖𝑘𝑗𝐠𝑖 = (𝑢𝑖.𝑗 + 𝑢𝑘𝜞𝑖𝑘𝑗)𝐠𝑖 = 𝑢𝑖𝑗𝐠𝑖,  𝑢𝑖𝑗 ≡ 𝑢𝑖.𝑗 + 𝑢𝑘𝜞𝑖𝑘𝑗  
         ∘ natural basis(자연 기저) vector의 미분: ∂𝐠𝑖/∂𝜉𝑗 = 𝜞𝑘𝑖𝑗 𝐠𝑘,  [참고] 𝜞𝑘𝑖𝑗 = 𝜞𝑘𝑗𝑖 ∵ 𝐠𝑖.𝑗 =  𝐠𝑗.𝑖
         ∘ covariant vector 미분: ∂𝐮/∂𝜉𝑗 = ∂/∂𝜉𝑗(𝑢𝑖𝐠𝑗) = (∂𝑢𝑖/∂𝜉𝑗)𝐠𝑖 + 𝑢𝑖(∂𝐠𝑖/∂𝜉𝑗) = 𝑢𝑖.𝑗𝐠𝑖 +  𝑢𝑖𝐠𝑖.𝑗
               𝐠𝑖∙ 𝐠𝑗 = 𝛿𝑖𝑗 [𝜉𝑘에 대해 미분]→ 𝐠𝑖.𝑘∙ 𝐠𝑗 + 𝐠𝑖∙ 𝐠𝑗.𝑘 = 0,  𝐠𝑖.𝑘∙ 𝐠𝑗 = - 𝐠𝑖∙ 𝐠𝑗.𝑘, 𝐠𝑖∙ 𝐠𝑗.𝑘 = 𝜞𝑖𝑗𝑘,  𝐠𝑖.𝑘∙ 𝐠𝑗 = -𝜞𝑖𝑗𝑘,  (𝐠𝑖.𝑘∙ 𝐠𝑗)𝐠𝑘 = -𝜞𝑖𝑗𝑘𝐠𝑘,  
               (𝐠𝑖.𝑘∙ 𝐠𝑗) 𝐠𝑘 = 𝐠𝑖.𝑘 (𝐠𝑘∙ 𝐠𝑗) = 𝐠𝑖.𝑘𝛿𝑘𝑗 = 𝐠𝑖.𝑗,  <- * how?  ∴ 𝐠𝑖.𝑗 = -𝜞𝑖𝑗𝑘𝐠𝑘,  
         ∘ covariant 성분의 covariant 미분: ∂𝐮/∂𝜉𝑗 = 𝑢𝑖.𝑗𝐠𝑖 +  𝑢𝑖𝐠𝑖.𝑗 = 𝑢𝑖.𝑗𝐠𝑖 - 𝑢𝑖𝜞𝑖𝑗𝑘𝐠𝑘 = (𝑢𝑖.𝑗 - 𝑢𝑘𝜞𝑘𝑖𝑗)𝐠𝑖,  𝑢𝑖𝑗 ≡ 𝑢𝑖.𝑗 - 𝑢𝑘𝜞𝑘𝑖𝑗
         ∘ reciprocal basis(역기저) vector의 미분: ∂𝐠𝑖/∂𝜉𝑗 = -𝜞𝑖𝑗𝑘 𝐠𝑘 
         ∘ covariant 성분과 contravariant 성분을 갖는 vector에 대한 미분 관계식: 𝑢𝑖𝑗 =  𝑔𝑖𝑘𝑢𝑘𝑗  <- by metric tensor
     c) Christoffel 기호
         ∘ 1종 Christoffel 기호 정의: 𝐠𝑖.𝑗 = 𝜞𝑘𝑖𝑗𝐠𝑘 = 𝑔𝑘𝑙𝜞𝑘𝑖𝑗𝐠𝑙,  𝜞𝑖𝑗𝑙 ≡ 𝑔𝑘𝑙 𝜞𝑘𝑖𝑗  <- by metric tensor
               𝐠𝑖.𝑗 = 𝜞𝑘𝑖𝑗𝐠𝑘 = 𝜞𝑖𝑗𝑙𝐠𝑙,  𝜞𝑘𝑖𝑗𝐠𝑘 ∙ 𝐠𝑚 = 𝜞𝑖𝑗𝑙𝐠𝑙 ∙ 𝐠𝑚,  𝜞𝑘𝑖𝑗𝛿𝑚𝑘 = 𝜞𝑚𝑖𝑗 = 𝐠𝑙m𝜞𝑖𝑗𝑙,  𝜞𝑚𝑖𝑗 = 𝐠𝑙m𝜞𝑖𝑗𝑙
               𝜞𝑘𝑖𝑗 = 𝜞𝑘𝑗𝑖 =  𝐠𝑘 ∙ 𝐠𝑖.𝑗 =  𝐠𝑘 ∙ 𝐠𝑗.𝑖 = -𝐠𝑖 ∙ 𝐠𝑘.𝑗  <-  covariant vector의 미분 참조;  𝜞𝑖𝑗𝑙 = 𝜞𝑗𝑖𝑙 = 𝐠𝑘 ∙ 𝐠𝑖.𝑗 = 𝐠𝑘 ∙ 𝐠𝑗.𝑖
          ∘ 2종 Christoffel 기호 계산: 𝑔𝑖𝑗 = 𝐠𝑖 ∙ 𝐠𝑗 → ∂𝑔𝑖𝑗/∂𝜉𝑘 = 𝐠𝑖.𝑘 ∙ 𝐠𝑗 +  𝐠𝑖 ∙ 𝐠𝑗.𝑘
              ∴ ∂𝑔𝑖𝑗/∂𝜉𝑘 = 𝜞𝑖𝑘𝑗 + 𝜞𝑗𝑘𝑙[a], ∂𝑔𝑗𝑘/∂𝜉𝑖 = 𝜞𝑗𝑖𝑘 + 𝜞𝑘𝑖𝑗[b], ∂𝑔𝑘𝑖/∂𝜉𝑗 = 𝜞𝑘𝑗𝑖 + 𝜞𝑖𝑗𝑘[c], [b]+[c]-[a] ↦ 𝜞𝑖𝑗𝑘= 1/2 (𝑔𝑗𝑘.𝑖+ 𝑔𝑘𝑖.𝑗- 𝑔𝑖𝑗.𝑘)
              ∵ 𝜞𝑝𝑖𝑗 = 1/2 𝑔𝑘𝑝 (𝑔𝑗𝑘.𝑖+ 𝑔𝑘𝑖.𝑗- 𝑔𝑖𝑗.𝑘) → [𝑖≠𝑗≠𝑘; 𝑖𝑖 & 𝑘𝑘: dummy index 미적용] 𝜞𝑘𝑖𝑗 = 0,  𝜞𝑘𝑖𝑖 = -1/2 (1/g𝑘𝑘)(∂𝑔𝑖𝑖/∂𝜉𝑘),
                  𝜞𝑘𝑘𝑗 = 𝜞𝑘𝑗𝑘 = 1/2 (1/g𝑘𝑘)(∂𝑔𝑘𝑘/∂𝜉𝑗) = 1/2 (>){∂ ln(𝑔𝑘𝑘/∂𝜉𝑗},   𝜞𝑘𝑘𝑘 = 1/2 (1/g𝑘𝑘)(∂𝑔𝑘𝑘/∂𝜉𝑘)
          ∘ Unit basis vector의 미분: 𝐞𝑖 = 𝐠𝑖/√ 𝑔𝑖𝑖,  𝐞𝑖.𝑗 = (1/√ 𝑔𝑖𝑖)𝐠𝑖.𝑗 + 𝐠𝑖(1/√ 𝑔𝑖𝑖).𝑗  <- 양변을 𝜉𝑗로 미분함
                (1/√ 𝑔𝑖𝑖) 𝐠𝑖.𝑗= (1/√ 𝑔𝑖𝑖)𝜞𝑘𝑖𝑗)𝐠𝑘 = (1/√ 𝑔𝑖𝑖)𝜞𝑘𝑖𝑗(√ 𝑔𝑘𝑘) 𝐞𝑘;  𝐠𝑖(1/√ 𝑔𝑖𝑖).𝑗 = {-1/2(𝑔𝑖𝑖)3/2}𝑔𝑖𝑖.j{(√ 𝑔𝑖𝑖) 𝐞𝑖} = -(1/2𝑔𝑖𝑖)𝑔𝑖𝑖.j 𝐞𝑖
              ∴ 𝐞𝑖.𝑗 = √ (𝑔𝑘𝑘/𝑔𝑖𝑖)𝜞𝑘𝑖𝑗 𝐞𝑘 - (1/2𝑔𝑖𝑖)𝑔𝑖𝑖.j 𝐞𝑖  <- 𝑖𝑖 & 𝑘𝑘: dummy index 미적용 표기
      d) Tensor의 미분:  2차 tensor 𝐀 = 𝐴𝑖𝑗 𝐠𝑖 ⊗ 𝐠𝑗, 𝐀 = 𝐴𝑖𝑗 𝐠𝑖 ⊗ 𝐠𝑗 또는 𝐀 = 𝐴𝑖.𝑗 𝐠𝑖 ⊗ 𝐠𝑗 등의 좌표에 대한 미분
           ∘  ∂𝐀/∂𝜉𝑘 = (∂𝐴𝑖𝑗/∂𝜉𝑘) 𝐠𝑖 ⊗ 𝐠𝑗 + 𝐴𝑖𝑗∂𝐠𝑖/∂𝜉𝑘 ⊗ 𝐠𝑗 + 𝐴𝑖𝑗𝐠𝑖 ⊗ ∂𝐠𝑗/∂𝜉𝑘 = (∂𝐴𝑖𝑗/∂𝜉𝑘) 𝐠𝑖 ⊗ 𝐠𝑗 + 𝐴𝑖𝑗𝜞𝑚𝑖𝑘𝐠𝑚 ⊗ 𝐠𝑗 + 𝐴𝑖𝑗𝜞𝑚𝑗𝑘𝐠𝑖 ⊗ 𝐠𝑚
                        = (∂𝐴𝑖𝑗/∂𝜉𝑘) 𝐠𝑖 ⊗ 𝐠𝑗 + 𝐴𝑚𝑗𝜞𝑖𝑚𝑘𝐠𝑖 ⊗ 𝐠𝑗 + 𝐴𝑖𝑚𝜞𝑗𝑚𝑘𝐠𝑖 ⊗ 𝐠𝑗 = (∂𝐴𝑖𝑗/∂𝜉𝑘 + 𝐴𝑚𝑗𝜞𝑖𝑚𝑘 + 𝐴𝑖𝑚𝜞𝑗𝑚𝑘)𝐠𝑖 ⊗ 𝐠𝑗 = 𝐴𝑖𝑗𝑘 𝐠𝑖 ⊗ 𝐠𝑗
              ∴ 𝐴𝑖𝑗𝑘 = ∂𝐴𝑖𝑗/∂𝜉𝑘 + 𝐴𝑚𝑗𝜞𝑖𝑚𝑘 + 𝐴𝑖𝑚𝜞𝑗𝑚𝑘
           ∘  ∂𝐀/∂𝜉𝑘 = (∂𝐴𝑖𝑗/∂𝜉𝑘) 𝐠𝑖 ⊗ 𝐠𝑗 + 𝐴𝑖𝑗∂𝐠𝑖/∂𝜉𝑘 ⊗ 𝐠𝑗 + 𝐴𝑖𝑗𝐠𝑖 ⊗ ∂𝐠𝑗/∂𝜉𝑘 =  (∂𝐴𝑖𝑗/∂𝜉𝑘 - 𝐴𝑚𝑗𝜞𝑚𝑘𝑖 - 𝐴𝑖𝑚𝜞𝑚𝑘𝑗)𝐠𝑖 ⊗ 𝐠𝑗 = 𝐴𝑖𝑗𝑘 𝐠𝑖 ⊗ 𝐠𝑗
              ∴ 𝐴𝑖𝑗𝑘 = ∂𝐴𝑖𝑗/∂𝜉𝑘 - 𝐴𝑚𝑗𝜞𝑚𝑘𝑖 - 𝐴𝑖𝑚𝜞𝑚𝑘𝑗
           ∘ ... 𝐴𝑖.𝑗𝑘 = ∂𝐴𝑖.𝑗/∂𝜉𝑘 + 𝐴𝑚.𝑗𝜞𝑖𝑘𝑚 - 𝐴𝑖.𝑚𝜞.𝑚𝑗𝑘  <- 혼합 성분에 대한 미분도 유사한 방법으로 구할 수 있습니다.
      e) Gradient(구배):  𝛁 ≡ 𝐠𝑗∂/∂𝜉𝑗  
         ∘ scala field: 𝛁𝜙 ≡ 𝐠𝑗∂𝜙/∂𝜉𝑗;  𝛁𝜙  = 𝜙.𝑗𝐠𝑗 or 𝜙.𝑗;  𝛁𝜙 =  𝜙.𝑗𝐠𝑗 = 𝑔𝑖𝑗𝜙.𝑗𝐠𝑖 = 𝑔𝑖𝑗√ 𝑔𝑖𝑖𝜙.𝑗 𝐞𝑖
         ∘ vector field: ex) 𝐮 = 𝑢𝑖 𝐠𝑖;  𝛁𝐮 = 𝛁 ⊗ 𝐮 = 𝐠𝑗∂𝐮/∂𝜉𝑗 = 𝑢𝑖𝑗 𝐠𝑖 ⊗ 𝐠𝑗;  𝑢𝑖𝑗 = 𝑔𝑖𝑘𝑢𝑘𝑗  <- covariant vector의 미분 참조
         ∘ 2차 tensor: ex) 𝛁𝐀 =  𝐠𝑘∂𝐀/∂𝜉𝑗 =  𝐴𝑖𝑗𝑘 𝐠𝑖 ⊗ 𝐠𝑗 ⊗ 𝐠𝑘 = 𝐴𝑖.𝑗𝑘 𝐠𝑖 ⊗ 𝐠𝑗 ⊗ 𝐠𝑘
      f) Divergence(발산): 𝛁 ∙ 𝐮 or 𝛁 ∙ 𝐀
        ∘ vector field: ex) 𝛁 ∙ 𝐮 = 𝐠𝑗 ∂/∂𝜉𝑗 ∙ 𝐮 =  𝐠𝑗 ∙ (𝑢𝑖 𝐠𝑖).𝑗 = 𝐠𝑗 ∙ 𝑢𝑖𝑗 𝐠𝑖 = 𝑢𝑖𝑗 𝐠𝑗 ∙ 𝐠𝑖 = 𝑢𝑖𝑗 𝛿𝑗𝑖 = 𝑢𝑖𝑖  <- contravariant vector의 미분 참조
              ∴  𝛁 ∙ 𝐮 = 𝑢𝑖𝑖 = ∂𝑢𝑖/∂𝜉𝑖 + 𝑢𝑘𝜞𝑖𝑘𝑖 = (1/√𝑔) ∂ √𝑔 𝑢𝑖/∂𝜉𝑖  <- ** why 𝑢𝑘𝜞𝑖𝑘𝑖 = 0?
               𝛁 ∙ 𝐮 = 𝑢𝑖𝑖 = (1/√𝑔){∂(√𝑔 𝑢(𝑖)/√𝑔𝑖𝑖)/∂𝜉𝑖}  <-  𝑢𝑖 = 𝑢(𝑖)/√𝑔𝑖𝑖;   𝛁 ∙ 𝐮 = tr(𝛁𝐮) = 𝛁𝐮 : 𝐈
        ∘ 2차 tensor: ex) 𝛁 ∙ 𝐀 = 𝐠𝑘 ∙ ∂𝐀/∂𝜉𝑘 = 𝐠𝑘 ∙ 𝐴𝑖𝑗𝑘 𝐠𝑖 ⊗ 𝐠𝑗 = 𝐴𝑖𝑗𝑘(𝐠𝑘 ∙ 𝐠𝑖)𝐠𝑗 =  𝐴𝑖𝑗𝑘 𝛿𝑘𝑖 𝐠𝑗 = 𝐴𝑖𝑗𝑖 𝐠𝑗  <- 𝐚 ∙ (𝐛 ⊗ 𝐜) = (𝐚 ∙ 𝐛) 𝐜
      g) Laplacian: 𝛁2 = 𝛁 ∙ 𝛁 = 𝐠𝑖 ∂/∂𝜉𝑖 ∙ (𝐠𝑗 ∂/∂𝜉𝑖) = 𝐠𝑖 (∂𝐠𝑗/∂𝜉𝑖)(∂/∂𝜉𝑖) + 𝐠𝑖 ∙ 𝐠𝑗2/(∂𝜉𝑖∂𝜉𝑗)  <- by chain rule
              𝛁2 = 𝑔𝑖𝑘𝐠𝑘 ∙ (∂𝐠𝑗/∂𝜉𝑖)(∂/∂𝜉𝑖) + 𝑔𝑖𝑗(∂2/∂𝜉𝑖∂𝜉𝑗) = 𝑔𝑖𝑗(∂2/∂𝜉𝑖∂𝜉𝑗) - 𝑔𝑖𝑘𝜞𝑗𝑖𝑘(∂/∂𝜉𝑖)  <- metric tensor, kronecker delta
         ∘ scala field: 𝛁2𝜙 = 𝛁 ∙ 𝐯 = (1/√𝑔) ∂√𝑔 𝑣𝑖/∂𝜉𝑖 = (1/√𝑔) ∂√𝑔 𝑔𝑗𝑖𝜙.𝑖/∂𝜉𝑖  <- divergence of vector field, 𝑣𝑖 =  𝑔𝑗𝑖𝜙.𝑖
         ∘ vector: 𝛁2𝐯 = 𝑔𝑖𝑗2𝐯/∂𝜉𝑖∂𝜉𝑗 - 𝑔𝑖𝑘𝜞𝑗𝑖𝑘∂𝐯/∂𝜉𝑖 <-  Laplacian eq. 적용
      h) Curl(회전): 𝛁 X 𝐮 = 𝐠𝑖∂/∂𝜉𝑖 X 𝐮 = 𝐠𝑖 X ∂𝐮/∂𝜉𝑖 = 𝐠𝑖 X 𝑢j𝑖 𝐠𝑗 = 𝑢j𝑖 𝐠𝑖 X 𝐠𝑗 =  𝝐𝑖𝑗𝑘 𝑢j𝑖 𝐠𝑘
               𝛁 X 𝐮 =  𝝐𝑖𝑗𝑘 𝑢j𝑖 𝐠𝑘 = (1/√𝑔)𝑒𝑖𝑗𝑘 𝑢j𝑖 𝐞𝑘√𝑔𝑘𝑘 = (1/√𝑔)[(𝑢32- 𝑢23)𝐞1√𝑔11 - (𝑢13- 𝑢31)𝐞2√𝑔22 + (𝑢21- 𝑢12)𝐞3√𝑔33]
                                                                                                                        ┃𝐞1√𝑔11  𝐞2√𝑔22  𝐞3√𝑔33
               = (1/√𝑔)[(𝑢3.2 - 𝑢2.3)𝐞1√𝑔11 + (𝑢1.3 - 𝑢3.1)𝐞2√𝑔22 - (𝑢2.1 - 𝑢1.2)𝐞3√𝑔33] = 1/√𝑔┃ ∂/∂𝜉1   ∂/∂𝜉2    ∂/∂𝜉3
                                                                                                                        ┃   𝑢1        𝑢2        𝑢3   ┃                                                                                          
         ∘ 2차 tensor: 𝛁 X 𝐓 =  𝐠𝑖 ∂/∂𝜉𝑖 X 𝐓 = 𝐠𝑖 X ∂𝐓/∂𝜉𝑖 = 𝐠𝑖 X 𝑇𝑗𝑘𝑖 𝐠𝑗 ⊗ 𝐠𝑘 = 𝑇𝑗𝑘𝑖 𝐠𝑖 X 𝐠𝑗 ⊗ 𝐠𝑘 = 𝝐𝑖𝑗𝑙 𝑇𝑗𝑘𝑖 𝐠𝑙 ⊗ 𝐠𝑘  <-  𝐜 X (𝐚 ⊗ 𝐛) = (𝐜 X 𝐚) ⊗ 𝐛

p.s. 다음의 두 관계식들이 지금은 이해가 되지 않아서 나중을 기약합니다..ㅎ
       * how? II-3 (b)...'(𝐠𝑖.𝑘∙ 𝐠𝑗) 𝐠𝑘 = 𝐠𝑖.𝑘 (𝐠𝑘∙ 𝐠𝑗)'
       ** why 𝑢𝑘𝜞𝑖𝑘𝑖 = 0? II-3 (f)... '∂𝑢𝑖/∂𝜉𝑖 + 𝑢𝑘𝜞𝑖𝑘𝑖 = (1/√𝑔) ∂ √𝑔 𝑢𝑖/∂𝜉𝑖'


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62    특수 상대성(SR) I-2    김관석 4 2018-07-05
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