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Tensor 해석 II-2: 좌표변환 II; 일반 좌표계와 미분
    김관석  (Homepage) 2019-06-03 23:41:00, 조회수 : 398
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II-3 좌표의 변환 II
  
      a) 13.1,2 Basis(기저) vector의 수학적 유도   <- 그림 13.1, 13. 2 참조
        ∘ R3 공간에서 점 P는 Cartesian 좌표계에서는 (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3), 일반 좌표계에서는 (𝜉1, 𝜉2, 𝜉3) 로 표기할 수 있습니다.
          두 좌표계 사이에 서로 변환이 가능하다고 할 때 그 관계식은  𝑥𝑖 =  𝑥𝑖(𝜉1, 𝜉2, 𝜉3),  𝜉𝑖 =  𝜉𝑖(𝑥1,  𝑥2, 𝑥3)가 됩니다.    [13.1.1,2]
          따라서, 점 P의 기준점으로부터의 위치 vector는 𝐱 = 𝐱(𝜉1, 𝜉2, 𝜉3)로 표기할 수 있습니다.   [13.1.3]  
        ∘ natural basis(자연 기저) vector의 정의: 𝐠𝑖 ≡ ∂𝐱/∂𝜉𝑖  <- 한 점에서 각 좌표 방향으로의 tangent(접선)의 성질   [13.2.1]
          점 P는 Cartian 좌표계로 𝐱 = 𝑥1𝐞1+ 𝑥2𝐞2+ 𝑥3𝐞3= 𝑥𝑖 𝐞𝑖,  ∴ 𝐠𝑖 = ∂𝐱/∂𝜉𝑖 = (∂𝑥𝑗/∂ξ𝑖) 𝐞𝑗   [13.2.5]
           ex) 원통 좌표계 (𝜉1 = 𝑟, 𝜉2 = 𝜃, 𝜉3 = 𝑧)에서의 자연 기저 vector  𝐠𝑖를 구하시오.  ◂
              𝑥1 =  𝜉1cos 𝜉2,  𝑥2 =  𝜉1sin 𝜉2,  𝑥3 = 𝜉3      [13.2.6]
              𝐠1 = ∂𝑥1/∂𝜉1𝐞1 + ∂𝑥2/∂𝜉1 𝐞2 + ∂𝑥3/∂𝜉1 𝐞3 = cos𝜉2 𝐞1 + sin𝜉2 𝐞2 = cos𝜃 𝐞1 + sin𝜃 𝐞2
              𝐠2 = ∂𝑥1/∂𝜉2𝐞1 + ∂𝑥2/∂𝜉2 𝐞2 + ∂𝑥3/∂𝜉2 𝐞3 = -𝜉1 sin𝜉2 𝐞1 + 𝜉1 cos𝜉2 𝐞2 =  -𝑟 sin𝜃 𝐞1 + 𝑟 cos𝜃 𝐞2   [13.2.7]
              𝐠3 = ∂𝑥1/∂𝜉3𝐞1 + ∂𝑥2/∂𝜉3 𝐞2 + ∂𝑥3/∂𝜉3 𝐞3 = 𝐞3  ▮
        ∘ reciprocal basis(역기저) vector의 정의: 𝐠𝑖 ≡ ∂𝜉𝑖/∂𝐱  <- 한 점에서 각 좌표 방향으로의 normal(법선)의 성질   [13.2.2]           
           𝐠𝑖 ≡ ∂𝜉𝑖/∂𝐱 = (∂𝜉𝑖/∂𝑥𝑗) 𝐞𝑗  <- 𝐠𝑗 ∙ 𝐠𝑖 = 𝛿𝑗𝑖,  ※ natural basis vector와 reciprocal basis vector는 상호 직교함  
        ∘ 𝐞𝑖 = (∂𝜉𝑗/∂𝑥𝑖) 𝐠𝑗,  𝐞𝑖 = (∂𝑥𝑗/∂𝜉𝑖) 𝐠𝑗  <- Cartesian 좌표계는 contaravariant(반변)과 covariant(공변)의 구분이 없으므로  𝐞𝑖 = 𝐞𝑖   [13.2.3,4]
      b) 13.3 Metric tensor의 의미
        ∘ Cartesian 좌표계에서: metric tensor: 𝛿𝑖𝑗
          𝐱 = 𝑥1𝐞1+ 𝑥2𝐞2+ 𝑥3𝐞3= 𝑥𝑖 𝐞𝑖   𝑑𝐱 = 𝑑𝑥1𝐞1+ 𝑑𝑥2𝐞2+ 𝑑𝑥3𝐞3= 𝑑𝑥𝑖 𝐞𝑖   𝑑𝑠2 = 𝑑𝐱 ∙ 𝑑𝐱 = 𝑑𝑥𝑖 ∙ 𝑑𝑥𝑗 = 𝑑𝑥𝑖𝑑𝑥𝑗 𝛿𝑖𝑗 = 𝑑𝑥𝑖𝑑𝑥𝑖,  ∴ 𝑑𝑠2 ≡ 𝑑𝑥𝑖𝑑𝑥𝑖   [13.3.1-7]
        ∘ General(일반) 좌표계에서: metric tensor: 𝑔𝑖𝑗 = 𝐠𝑖 ∙ 𝐠𝑗
          𝑑𝐱 = (∂𝐱/∂𝜉𝑖)𝑑𝜉𝑖   𝑑𝐱 = 𝐠𝑖 𝑑𝜉𝑖   𝑑𝑠2 = 𝑑𝐱 ∙ 𝑑𝐱 =  𝑑𝜉𝑖 𝐠𝑖 ∙ 𝑑𝜉𝑗 𝐠𝑗  = 𝑔𝑖𝑗 𝑑𝜉𝑖𝑑𝜉𝑗 ∴ 𝑑𝑠2 ≡ 𝑔𝑖𝑗 𝑑𝜉𝑖𝑑𝜉𝑗   [13.3.8-10]        
      c) 13.4 좌표 변환의 조건
        ∘ Jacobian이 0(zero)이 아님
          Cartesian 좌표계의 (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3)에서 일반 좌표계의 (𝜉1, 𝜉2, 𝜉3)로의 변환 Jacobian 𝐽 는 아래처럼 정의하며, 그 변환 조건은
          𝐽 ≡ det (∂𝑥𝑗/∂𝜉𝑖) =
             ∣ ∂𝑥1/∂𝜉1  ∂𝑥1/∂𝜉2  ∂𝑥1/∂𝜉3 ∣ 
             ∣ ∂𝑥2/∂𝜉1  ∂𝑥2/∂𝜉2  ∂𝑥2/∂𝜉3 ∣  ≠ 0   [13.4.1]
             ∣ ∂𝑥 3/∂𝜉1 ∂𝑥3/∂𝜉2  ∂𝑥3/∂𝜉3
             𝐽 =  𝜖𝑖𝑗𝑘 (∂𝑥𝑖/∂𝜉1)(∂𝑥𝑗/∂𝜉2)(∂𝑥𝑘/∂𝜉3) = (∂𝐱/∂𝜉1) ⨯ (∂𝐱/∂𝜉2) ∙ (∂𝐱/∂𝜉3) = 𝐠1 ⨯ 𝐠2 ∙ 𝐠3 = 𝜖𝑖𝑗𝑘 = √ 𝑔  <- g = det [g𝑖𝑗]      [13.3.1-7]
             𝐽  > 0 : 오른손 법칙의 좌표계로의 변환,  𝐽  < 0 : 왼손 법칙의 좌표계로의 변환,   𝐽 = 0   변환 불가     [13.4.8]
     d) 13.5 Tensor의 좌표 변환  <- 하나의 일반 좌표계 𝜀𝑖에서 다른 일반 좌표계 𝜀̄𝑖으로의 변환 
           각각의 natural basis(자연 기저) vector 𝐠𝑖 = ∂𝐱/∂𝜀𝑖, 𝐠̄𝑖 = ∂𝐱/∂𝜀̄𝑖들의 dot product(내적)를 변환 tensor로 정의합니다.   [13.5.1]       
        ∘ 변환 tensor 𝑙𝑖𝑗 ≡ 𝐠̄𝑖 ∙ 𝐠𝑗 = ∂𝐱/∂𝜀̄𝑖 ∙ ∂𝐱/∂𝜀𝑗 = (∂𝜀𝑘/∂𝜀̄𝑖)(∂𝐱/∂𝜀𝑘) ∙ ∂𝐱/∂𝜀𝑗 = (∂̄𝜀𝑘/∂𝜀̄𝑖) 𝐠𝑘 ∙ 𝐠𝑗 = 𝑔𝑘𝑗 ∂̄𝜀𝑘/∂𝜀̄𝑖  <- chain rule 적용   [13.5.2-5]
        ∘ 𝑢̄𝑖 = 𝑙𝑖𝑗 𝑢𝑗,  𝑢̄𝑖 = 𝑙𝑖.𝑗 𝑢𝑗,  𝑢̄ 𝑖 = 𝑙𝑖.𝑗 𝑢𝑗,  𝑢̄ 𝑖 = 𝑙𝑖𝑗 𝑢𝑗  <- 변환 tensor는 contravariant 성분 ⇄ covariant 성분 역할   [13.5.5-9]
        ∘ 𝑙𝑖𝑗 =  𝑔𝑘𝑗 ∂̄𝜀𝑘/∂𝜀̄𝑖 = 𝑔̄𝑖𝑘 ∂̄𝜀̄𝑘/∂𝜀𝑗,  𝑙𝑖𝑗 =  𝑔̄𝑘𝑖 ∂̄𝜀̄𝑘/∂𝜀𝑗 = 𝑔𝑘𝑗 ∂̄𝜀𝑘/∂̄𝜀̄ 𝑖,   𝑙𝑖.𝑗 =  ∂̄𝜀̄𝑖/∂𝜀𝑗,   𝑙𝑖.𝑗 =  ∂𝜀𝑗/∂𝜀̄ 𝑖   [13.5.10-13]
           ex) 𝑙𝑖.𝑗 유도 →  𝑙𝑖.𝑗 = 𝐠̄𝑖 ∙ 𝐠𝑗 = 𝑔̄𝑖𝑘 𝐠̄𝑘 ∙ 𝐠𝑗 = 𝑔̄𝑖𝑘 ∂𝐱/∂𝜀̄𝑘 ∙ ∂𝐱/∂𝜀𝑗 = 𝑔̄𝑖𝑘 ∂𝐱/∂𝜀̄𝑘 ∙ (∂𝜀̄𝑙/∂𝜀̄𝑙)∂𝐱/∂𝜀𝑗 = 𝑔̄𝑖𝑘 ∂𝐱/∂𝜀̄𝑘 ∙ (∂𝜀̄𝑙/∂𝜀𝑗)∂𝐱/∂𝜀̄𝑙
                                                = 𝑔̄𝑖𝑘 𝐠̄𝑘 ∙ (∂𝜀̄𝑙/∂𝜀𝑗)𝐠̄𝑙 = 𝐠̄𝑖 ∙ (∂𝜀̄𝑙/∂𝜀𝑗)   𝑙𝑖.𝑗 = 𝛿𝑖𝑙 ∂𝜀̄𝑙/∂𝜀𝑗 = ∂𝜀̄𝑖/∂𝜀𝑗    [13.5.16-21]                  
      e) 13.6,7 좌표 변환과 tensor의 정의
           Tensor는 정해진 변환 법칙을 만족하는 물리량이라고 정의할 수 있습니다. <- tensor의 좌표 변환: 임의 좌표계 𝜀𝑖 → 𝜀̄ 𝑖
        ∘ contravariant(반변) 변환 법칙: 임의의 vector를 각각의 좌표계에서 고려하면,  𝐮 = 𝑢̄𝑗 𝐠̄𝑗 = 𝑢𝑗 𝐠𝑗   [13.6.1]                
           𝑢̄𝑗 (∂𝐱/∂𝜀̄𝑗) = 𝑢𝑗 (∂𝐱/∂𝜀𝑗),  𝑢̄𝑗 (∂𝐱/∂𝜀̄𝑗)(∂𝜀̄𝑖/∂𝐱) = 𝑢𝑗 (∂𝐱/∂𝜀𝑗)(∂𝜀̄𝑖/∂𝐱),  𝑢̄𝑗 𝛿𝑖𝑗 = 𝑢𝑗 (∂𝜀̄ 𝑖/∂𝜀𝑗)  ∴   𝑢̄𝑖 = 𝑢𝑗 (∂𝜀̄𝑖/∂𝜀𝑗)   [13.6.2-8]
           ex) velocity 𝑣𝑖 = 𝑑𝜀𝑖/𝑑𝑡 를 좌표계 𝜀̄𝑗에서 관찰하면,  𝑣̄𝑗 = 𝑑𝜀̄𝑗/𝑑𝑡 =  (∂𝜀̄𝑗/∂𝜀𝑘)(∂𝜀𝑘/𝑑𝑡) = (∂𝜀̄𝑗/∂𝜀𝑘) 𝑣𝑘  ∴ 변환 법칙을 만족   [13.7.1-3]
        ∘ covariant(공변) 변환 법칙: 유사한 방식으로 유도 하면,  𝑢̄𝑖 = 𝑢𝑗 (∂𝜀𝑗/∂𝜀̄𝑖)   [13.6.9]
        ∘ scalar 불변의 법칙: scalar는 0차 tensor로 지수가 없으므로, 𝜙̄(𝜀̄) = 𝜙(𝜀)   [13.6.12]
        ∘ 2차 tensor의 변환 법칙;  contravariant(반변) tensor: 𝐴̄𝑖𝑗 =  𝐴𝑘𝑙 (∂𝜀̄𝑖/∂𝜀𝑘)(∂𝜀̄𝑗/∂𝜀𝑙)   [13.6.15]  
               covariant(공변) tensor: 𝐴̄𝑖𝑗 =  𝐴𝑘𝑙 (∂𝜀𝑘/∂𝜀̄𝑖)(∂𝜀𝑙/∂𝜀̄𝑗),   혼합 tensor: 𝐴̄ 𝑖.𝑗 =  𝐴𝑘.𝑗 (∂𝜀̄𝑖/∂𝜀𝑘)(∂𝜀𝑙/∂𝜀̄𝑗)   [13.6.16,17]    
       f) 13.8 Physical component(물리적 성분)의 정의 <- 아래 𝑖̄𝑖̄, 𝑗̄𝑗̄: 중복 지수(dummy index) 미적용 표기임
         ∘ normalization of basis(기저의 정규화): 물리적 성분의 사용을 위해 Cartesian 좌표계의 단위 기저 vector로 변환함  
            𝐞𝑖 = 𝐠𝑖/∥𝐠∥= 𝐠𝑖/√ 𝑔𝑖̄𝑖̄ or  𝐠𝑖 = √ 𝑔𝑖̄𝑖̄ 𝐞𝑖 마찬가지로,  𝐞𝑖 = 𝐠𝑖/∥𝐠∥= 𝐠𝑖/√ 𝑔𝑖̄𝑖̄ or 𝐠𝑖 = √ 𝑔𝑖̄𝑖̄ 𝐞𝑖   [13.8.3,4]
             ex) 원통 좌표계 (𝜉1 = 𝑟, 𝜉2 = 𝜃, 𝜉3 = 𝑧),  여기서 metric tensor 들은  𝑔11 = 𝑔33 = 1,  𝑔22 = 𝑟2  나머지는 0 입니다.
                 𝐞1 = 𝐠1/√ 𝑔11 = 𝐠1,  𝐞2 = 𝐠2/√ 𝑔22 = 𝐠2/𝑟,  𝐞3 = 𝐠3/√ 𝑔33 = 𝐠3,   ∴  𝐠1 = 𝐞1,  𝐠2 = 𝑟𝐞2,  𝐠3 = 𝐞3   [13.8.5,7]
         ∘ physical component(물리적 성분):  unit basis(단위 기저) vector로 변환했을 때의 성분으로 정의합니다.  
            𝐯 = 𝑣(𝑖) 𝐞𝑖 = 𝑣(𝑖) 𝐞𝑖;  contravariant 물리적 성분: 𝑣(𝑖) = 𝑣𝑖 √ 𝑔𝑖̄𝑖̄,  covariant 물리적 성분: 𝑣(𝑖) = 𝑣𝑖 √ 𝑔𝑖̄𝑖̄   [13.8.13-21]
           2차 tensor의 물리적 성분: 𝐴(𝑖𝑗) 𝐠𝑖 ⊗  𝐠𝑗contravariant: 𝐴(𝑖𝑗) = 𝐴𝑖𝑗 √ (𝑔𝑖̄𝑖̄𝑔𝑗̄𝑗̄),  covariant: 𝐴(𝑖𝑗) = 𝐴𝑖𝑗 √ (𝑔𝑖̄𝑖̄𝑔𝑗̄𝑗̄)   [13.8.24-27]  
           composite: 𝐴(𝑖)(.𝑗) = 𝐴𝑖.𝑗 √ (𝑔𝑖̄𝑖̄/𝑔𝑗̄𝑗̄)  ∴ 𝐀 =  𝐴(𝑖𝑗) 𝐞𝑖 ⊗ 𝐞𝑗 =  𝐴(𝑖𝑗) 𝐞𝑖 ⊗ 𝐞𝑗 = 𝐴(𝑖)(.𝑗) 𝐞𝑖 ⊗ 𝐞𝑗   [13.8.28-30]

II-4 일반 좌표계에서의 미분  

      a) 14.1 Scala의 미분: ∂𝜙/∂𝜉𝑗 or 𝜙.𝑗 <- 𝜙: scala field   [14.1.1]
           ex) Scala 장 𝜙(𝜉1, 𝜉2, 𝜉3) = (𝜉1)2 + cos (𝜉2) + 𝜉3의 좌표에 대한 미분을 구하시오  ◂
                 ∂𝜙/∂𝜉1 = 2𝜉1,   ∂𝜙/∂𝜉2 = -sin(𝜉2),   ∂𝜙/∂𝜉3 = 1  ▮  
      b) Vector의 미분  <- ※ 성분에 대한 미분과 변화하는 기저 vector에 대한 미분을 함께 함           
        ∘ contravariant(반변) vector 미분: ∂𝐮/∂𝜉𝑗 = (∂/∂𝜉𝑗)𝑢𝑖 𝐠𝑗 = (∂𝑢𝑖/∂𝜉𝑗) 𝐠𝑖 + 𝑢𝑖 (∂𝐠𝑖/∂𝜉𝑗) = 𝑢𝑖.𝑗 𝐠𝑖 +  𝑢𝑖 𝐠𝑖.𝑗   [14.2.1-3] 
           𝐠𝑖 ≡ ∂𝐱/∂𝜉𝑖 = ∂𝑥𝑗/∂𝜉𝑖 𝐞𝑗,  𝐞𝑖 = ∂𝜉𝑗/∂𝑥𝑖 𝐠𝑖 → 𝐠𝑖.𝑗 = ∂(∂𝐱/∂𝜉 𝑖)/∂𝜉𝑗 = ∂𝐱2/∂𝜉𝑖∂𝜉𝑗,  𝐠𝑖.𝑗 = 𝐠𝑗,𝑖.,  𝐠𝑖.𝑗 = ∂2𝐱/∂𝜉𝑖∂𝜉𝑗 = (∂2𝑥𝑚/∂𝜉𝑖∂𝜉𝑗) 𝐞𝑚   [14.2.4-7]
             = (∂2𝑥𝑚/∂𝜉𝑖∂𝜉𝑗)(∂𝜉𝑛/𝑥𝑚) 𝐠𝑛 = 𝜞𝑛𝑖𝑗 𝐠𝑛  ∴ ∂𝐮/∂𝜉𝑗 = (∂/∂𝜉𝑗)𝑢𝑖 𝐠𝑗 = 𝑢𝑖.𝑗 𝐠𝑖 +  𝑢𝑖 𝐠𝑖.𝑗 = 𝑢𝑖.𝑗 𝐠𝑖 + 𝑢𝑖 𝜞𝑛𝑖𝑗 𝐠𝑛 =  𝑢𝑖.𝑗 𝐠𝑖 + 𝑢𝑘 𝜞𝑖𝑘𝑗 𝐠𝑖   [14.2.8]
        ∘ 2종 Christoffel 기호의 정의 <- ※ 기저 vector의 접선 방향 성분 by the Gauss Formulas
             𝜞𝑛𝑖𝑗 ≡ (∂2𝑥𝑚/∂𝜉𝑖∂𝜉𝑗)(∂𝜉𝑛/∂𝑥𝑚),  𝐠𝑖.𝑗∙ 𝐠𝑘 = 𝜞𝑛𝑖𝑗 𝐠𝑛∙ 𝐠𝑘 = 𝜞𝑛𝑖𝑗 𝛿𝑘𝑛 = 𝜞𝑘𝑖𝑗   𝐠𝑖.𝑗∙ 𝐠𝑘 = 𝜞𝑘𝑖𝑗,   ∴ 𝐠𝑖.𝑗∙ 𝐠𝑘 =  𝜞𝑘𝑖𝑗   [14.2.9-11]                    
        ∘ contravariant 성분의 covariant 미분: ∂𝐮/∂𝜉𝑗 = 𝑢𝑖.𝑗 𝐠𝑖+ 𝑢𝑘 𝜞𝑖𝑘𝑗 𝐠𝑖 = (𝑢𝑖.𝑗 + 𝑢𝑘 𝜞𝑖𝑘𝑗) 𝐠𝑖 = 𝑢𝑖𝑗 𝐠𝑖,  𝑢 𝑖𝑗 ≡ 𝑢𝑖.𝑗 + 𝑢𝑘 𝜞𝑖𝑘𝑗    [14.2.12,13]  
        ∘ natural basis(자연 기저) vector의 미분: ∂𝐠𝑖/∂𝜉𝑗 = 𝜞𝑘𝑖𝑗 𝐠𝑘,  ※  𝜞𝑘𝑖𝑗 = 𝜞𝑘𝑗𝑖 ∵ 𝐠𝑖.𝑗 =  𝐠𝑗.𝑖  
        ∘ covariant(공변) 성분 vector의 미분: ∂𝐮/∂𝜉𝑗 = (∂/∂𝜉𝑗)𝑢𝑖 𝐠𝑗 = (∂𝑢𝑖/∂𝜉𝑗) 𝐠𝑖 + 𝑢𝑖 (∂𝐠𝑖/∂𝜉𝑗) = 𝑢𝑖.𝑗 𝐠𝑖 +  𝑢𝑖 𝐠𝑖.𝑗   [14.2.14]
             𝐠𝑖∙ 𝐠𝑗 = 𝛿𝑖𝑗,  양변 𝜉𝑘로 미분,   𝐠𝑖.𝑘∙ 𝐠𝑗 + 𝐠𝑖∙ 𝐠𝑗.𝑘 = 0,  𝐠𝑖.𝑘∙ 𝐠𝑗 = - 𝐠𝑖∙ 𝐠𝑗.𝑘, 𝐠𝑖∙ 𝐠𝑗.𝑘 = 𝜞𝑖𝑗𝑘,  𝐠𝑖.𝑘∙ 𝐠𝑗 = -𝜞𝑖𝑗𝑘,  (𝐠𝑖.𝑘∙ 𝐠𝑗)𝐠𝑘 = -𝜞𝑖𝑗𝑘𝐠𝑘   [14.2.15-18] 
             (𝐠𝑖.𝑘 ∙ 𝐠𝑗) 𝐠𝑘 = 𝐠𝑖.𝑘 𝐠𝑘 ∙ 𝐠𝑗 = 𝐠𝑖.𝑘𝛿𝑘𝑗 = 𝐠𝑖.𝑗 <- *;  𝐠𝑖.𝑗 = -𝜞𝑖𝑗𝑘𝐠𝑘,  ∴ ∂𝐮/∂𝜉𝑗 = (∂/∂𝜉𝑗)𝑢𝑖 𝐠𝑗 = 𝑢𝑖.𝑗 𝐠𝑖 - 𝑢𝑖 𝜞𝑖𝑗𝑘𝐠𝑘 = 𝑢𝑖.𝑗 𝐠𝑖 - 𝑢𝑘 𝜞𝑖𝑗𝑘𝐠𝑖   [14.2.16-20]
        ∘ covariant 성분의 covariant 미분: ∂𝐮/∂𝜉𝑗 = 𝑢𝑖.𝑗 𝐠𝑖 +  𝑢𝑖 𝐠𝑖.𝑗 = 𝑢𝑖.𝑗 𝐠𝑖 - 𝑢𝑖 𝜞𝑖𝑗𝑘 𝐠𝑘 = (𝑢𝑖.𝑗 - 𝑢𝑘 𝜞𝑘𝑖𝑗)𝐠𝑖,  𝑢 𝑖𝑗 ≡ 𝑢𝑖.𝑗 - 𝑢𝑘 𝜞𝑘𝑖𝑗   [14.2.21,22]
        ∘ reciprocal basis(역기저) vector의 미분: ∂𝐠𝑖/∂𝜉𝑗 = -𝜞𝑖𝑗𝑘 𝐠𝑘 
        ∘ 𝑢𝑖𝑗 - 𝑢𝑗𝑖 = (𝑢𝑖.𝑗 - 𝑢𝑘 𝜞𝑘𝑖𝑗) - (𝑢𝑗,𝑖 - 𝑢𝑘 𝜞𝑘𝑗𝑖) = 𝑢𝑖.𝑗 - 𝑢𝑗,𝑖  <-  𝜞𝑘𝑖𝑗 = 𝜞𝑘𝑗𝑖,  ∴ 𝑢𝑖𝑗 - 𝑢𝑗𝑖 = 𝑢𝑖.𝑗 - 𝑢𝑗,𝑖  <- ※ 자주 사용하는 관계식   [14.2.23,24]
        ∘ covariant 성분과 contravariant 성분을 갖는 vector에 대한 미분 관계식: 𝑢 𝑖𝑗 =  𝑔𝑖𝑘 𝑢𝑘𝑗  <- by metric tensor   [14.2.25]
     c) Christoffel 기호
        ∘ 1종 Christoffel 기호의 정의: metric tensor와 2종 Christoffel 기호의 곱  
                𝐠𝑖.𝑗 = 𝜞𝑘𝑖𝑗 𝐠𝑘 = 𝑔𝑘𝑙 𝜞𝑘𝑖𝑗 𝐠𝑙 <- 𝐠𝑘 → 𝐠𝑙 by metric 𝑔𝑘𝑙,   𝜞𝑖𝑗𝑙 ≡ 𝑔𝑘𝑙 𝜞𝑘𝑖𝑗   <- ※ [𝑖𝑗, 𝑙]로도 표기함   [14.3.1,2]                              
               ∴ 𝐠𝑖.𝑗 = 𝜞𝑘𝑖𝑗 𝐠𝑘 = 𝜞𝑖𝑗𝑙 𝐠𝑙 <- 기저 vector에 따름,  𝜞𝑘𝑖𝑗 𝐠𝑘 ∙ 𝐠𝑚 = 𝜞𝑖𝑗𝑙 𝐠𝑙 ∙ 𝐠𝑚,  𝜞𝑘𝑖𝑗𝛿𝑚𝑘 = 𝜞𝑚𝑖𝑗 = 𝐠𝑙m 𝜞𝑖𝑗𝑙,  ∴ 𝜞𝑚𝑖𝑗 = 𝐠𝑙m 𝜞𝑖𝑗𝑙   [14.3.2-6]
               𝜞𝑘𝑖𝑗 = 𝜞𝑘𝑗𝑖 =  𝐠𝑘 ∙ 𝐠𝑖.𝑗 =  𝐠𝑘 ∙ 𝐠𝑗.𝑖 = -𝐠𝑖 ∙ 𝐠𝑘.𝑗  <-  covariant vector의 미분 참조;  𝜞𝑖𝑗𝑘 = 𝜞𝑗𝑖𝑘 = 𝐠𝑘 ∙ 𝐠𝑖.𝑗 = 𝐠𝑘 ∙ 𝐠𝑗.𝑖   [14.3.7,8]
        ∘ 2종 Christoffel 기호의 계산  <- ※ 핵심적인 계산!  
               𝑔𝑖𝑗 = 𝐠𝑖 ∙ 𝐠𝑗, 이를 좌표계에 대해서 미분하면,   ∂𝑔𝑖𝑗/∂𝜉𝑘 = 𝐠𝑖.𝑘 ∙ 𝐠𝑗 +  𝐠𝑖 ∙ 𝐠𝑗.𝑘   [14.3.9]
              ∴ ∂𝑔𝑖𝑗/∂𝜉𝑘 = 𝜞𝑖𝑘𝑗 + 𝜞𝑗𝑘𝑙 [a], ∂𝑔𝑗𝑘/∂𝜉𝑖 = 𝜞𝑗𝑖𝑘 + 𝜞𝑘𝑖𝑗 [b], ∂𝑔𝑘𝑖/∂𝜉𝑗 = 𝜞𝑘𝑗𝑖 + 𝜞𝑖𝑗𝑘 [c],  [b]+[c]-[a] → 𝜞𝑖𝑗𝑘= (1/2) (𝑔𝑗𝑘.𝑖+ 𝑔𝑘𝑖.𝑗- 𝑔𝑖𝑗.𝑘)   [14.3.10-14]
              ∵ 𝜞𝑝𝑖𝑗 = 𝑔𝑘𝑝 𝜞𝑖𝑗𝑘,  𝜞𝑝𝑖𝑗 = (1/2) 𝑔𝑘𝑝 (𝑔𝑗𝑘.𝑖+ 𝑔𝑘𝑖.𝑗- 𝑔𝑖𝑗.𝑘)  <- 직접 사용이 복잡하므로 지수값에 따라 나누어 계산함   [14.3.15]
               * 실제의 계산 방식:  𝜞𝑘𝑖𝑗 = 0  [𝑖≠𝑗≠𝑘 일 때],  [이하 𝑖̄𝑖̄, 𝑘̄𝑘̄: 중복 지수 미적용]  𝜞𝑘𝑖𝑖 = (-1/2 𝑔𝑘̄𝑘̄)(∂𝑔𝑖̄𝑖̄/∂𝜉𝑘)    [14.3.16,17]             
                                              𝜞𝑘𝑘𝑗 = 𝜞𝑘𝑗𝑘 = (1/2𝑔𝑘̄𝑘̄)(∂𝑔𝑘̄𝑘̄/∂𝜉𝑗) = (1/2){∂ ln(𝑔𝑘̄𝑘̄/∂𝜉𝑗},    𝜞𝑘𝑘̄𝑘̄ = (1/2𝑔𝑘̄𝑘̄)(∂𝑔𝑘̄𝑘̄/∂𝜉𝑘)  [14.3.18,19]
           ex) 원통 좌표계에서의 2종 Christoffel 기호를 구하시오.  ◂
                 𝜞212 = 𝜞221 = (1/2)∂𝑔𝑘̄𝑘̄/∂𝜉𝑗) = (1/2)∂ ln(𝑔22)/∂𝜉1 = (1/2)∂ ln(𝑟2)/∂𝑟 = 1/𝑟,  𝜞122 = -(1/2𝑔11)∂𝑔22/∂𝜉1 = -(1/2)∂𝑟2)/∂𝑟 = -𝑟,  기타: 0  ▮
        ∘ Unit basis vector의 미분: 𝐞𝑖 = 𝐠𝑖/√ 𝑔𝑖̄𝑖̄,  𝐞𝑖.𝑗 = (1/√ 𝑔𝑖̄𝑖̄) 𝐠𝑖.𝑗 + 𝐠𝑖(1/√ 𝑔𝑖̄𝑖̄).𝑗  <- 양변을 𝜉𝑗로 미분   [14.3.22,23]
                (1/√ 𝑔𝑖̄𝑖̄) 𝐠𝑖.𝑗= (1/√ 𝑔𝑖̄𝑖̄) 𝜞𝑘𝑖𝑗) 𝐠𝑘 = (1/√ 𝑔𝑖̄𝑖̄) 𝜞𝑘𝑖𝑗 (√ 𝑔𝑘̄𝑘̄) 𝐞𝑘;  𝐠𝑖(1/√ 𝑔𝑖̄𝑖̄).𝑗 = -{1/2(𝑔𝑖̄𝑖̄)3/2}𝑔𝑖̄𝑖̄.𝑗 𝐠𝑖 = -{1/2(𝑔𝑖̄𝑖̄)3/2}𝑔𝑖̄𝑖̄.𝑗√ 𝑔𝑖̄𝑖̄ 𝐞𝑖   [14.3.24,25]
                = -(1/2𝑔𝑖̄𝑖̄) 𝑔𝑖̄𝑖̄.𝑗 𝐞𝑖;  ∴ 𝐞𝑖.𝑗 = √ (𝑔𝑘̄𝑘̄/𝑔𝑖̄𝑖̄) 𝜞𝑘𝑖𝑗 𝐞𝑘 - (1/2𝑔𝑖̄𝑖̄) 𝑔𝑖̄𝑖̄.j 𝐞𝑖  <- 𝑖̄𝑖̄, 𝑘̄𝑘̄: dummy index 미적용 표기   [14.3.25,26]
           ex) 원통 좌표계 (𝜉1 = 𝑟, 𝜉2 = 𝜃, 𝜉3 = 𝑧)에서의 단위 기저 벡터의 미분값을 구하시오.  ◂
                 ∂𝐞1/∂𝜉1 = 𝐞1 𝜞111 √ 𝑔11/𝑔11 + 𝐞2 𝜞211 √ 𝑔22/𝑔11 + 𝐞3 𝜞311 √ 𝑔33/𝑔11 - 𝐞1(1/2𝑔11)(∂𝑔11/∂𝜉1 = 0   [14.3.27]
                 ∂𝐞1/∂𝜉2 = 𝐞1 𝜞111 √ 𝑔11/𝑔11 + 𝐞2 𝜞211 √ 𝑔22/𝑔11 + 𝐞3 𝜞311 √ 𝑔33/𝑔11 - 𝐞1(1/2𝑔11)(∂𝑔11/∂𝜉2 = 0   [14.3.28]
                 ∂𝐞1/∂𝑟 = 0,  ∂𝐞2/∂𝑟 = 0,  ∂𝐞3/∂𝑟 = 0,  ∂𝐞1/∂𝜃 = 𝐞2,  ∂𝐞2/∂𝜃 = -𝐞2,  ∂𝐞3/∂𝜃 = 0,  ∂𝐞1/∂𝑧 = 0,  ∂𝐞2/∂𝑧 = 0,  ∂𝐞3/∂𝑧 = 0  ▮   [14.3.29]
      d) Tensor의 미분:  2차 tensor 𝐀 = 𝐴𝑖𝑗 𝐠𝑖 ⊗ 𝐠𝑗,  𝐀 = 𝐴𝑖𝑗 𝐠𝑖 ⊗ 𝐠𝑗,   𝐀 = 𝐴𝑖.𝑗 𝐠𝑖 ⊗ 𝐠𝑗 등의 좌표에 대한 미분
        ∘  ∂𝐀/∂𝜉𝑘 = (∂𝐴𝑖𝑗/∂𝜉𝑘) 𝐠𝑖 ⊗ 𝐠𝑗 + 𝐴𝑖𝑗 ∂𝐠𝑖/∂𝜉𝑘 ⊗ 𝐠𝑗 + 𝐴𝑖𝑗 𝐠𝑖 ⊗ ∂𝐠𝑗/∂𝜉𝑘 = (∂𝐴𝑖𝑗/∂𝜉𝑘) 𝐠𝑖 ⊗ 𝐠𝑗 + 𝐴𝑖𝑗 𝜞𝑚𝑖𝑘 𝐠𝑚 ⊗ 𝐠𝑗 + 𝐴𝑖𝑗 𝜞𝑚𝑗𝑘 𝐠𝑖 ⊗ 𝐠𝑚   [14.4.1,2]
                     = (∂𝐴𝑖𝑗/∂𝜉𝑘) 𝐠𝑖 ⊗ 𝐠𝑗 + 𝐴𝑚𝑗 𝜞𝑖𝑚𝑘 𝐠𝑖 ⊗ 𝐠𝑗 + 𝐴𝑖𝑚 𝜞𝑗𝑚𝑘 𝐠𝑖 ⊗ 𝐠𝑗 = (∂𝐴𝑖𝑗/∂𝜉𝑘 + 𝐴𝑚𝑗 𝜞𝑖𝑚𝑘 + 𝐴𝑖𝑚 𝜞𝑗𝑚𝑘) 𝐠𝑖 ⊗ 𝐠𝑗 = 𝐴𝑖𝑗𝑘 𝐠𝑖 ⊗ 𝐠𝑗   [14.4.3]
              ∴ If 𝐀 = 𝐴𝑖𝑗 𝐠𝑖 ⊗ 𝐠𝑗, then ∂𝐀/∂𝜉𝑘 = 𝐴𝑖𝑗𝑘 𝐀 = (∂𝐴𝑖𝑗/∂𝜉𝑘 + 𝐴𝑚𝑗 𝜞𝑖𝑚𝑘 + 𝐴𝑖𝑚 𝜞𝑗𝑚𝑘) 𝐀 <- 자연 기저 vector에 대한 contravariant 미분   [14.4.4]
        ∘  ∂𝐀/∂𝜉𝑘 = (∂𝐴𝑖𝑗/∂𝜉𝑘) 𝐠𝑖 ⊗ 𝐠𝑗 + 𝐴𝑖𝑗 ∂𝐠𝑖/∂𝜉𝑘 ⊗ 𝐠𝑗 + 𝐴𝑖𝑗𝐠𝑖 ⊗ ∂𝐠𝑗/∂𝜉𝑘 =  (∂𝐴𝑖𝑗/∂𝜉𝑘 - 𝐴𝑚𝑗 𝜞𝑚𝑘𝑖 - 𝐴𝑖𝑚 𝜞𝑚𝑘𝑗) 𝐠𝑖 ⊗ 𝐠𝑗 = 𝐴𝑖𝑗𝑘 𝐠𝑖 ⊗ 𝐠𝑗   [14.4.5,6]
              ∴ If 𝐀 = 𝐴𝑖𝑗 𝐠𝑖 ⊗ 𝐠𝑗, then  ∂𝐀/∂𝜉𝑘 = 𝐴𝑖𝑗𝑘 𝐀 = (∂𝐴𝑖𝑗/∂𝜉𝑘 - 𝐴𝑚𝑗 𝜞𝑚𝑘𝑖 - 𝐴𝑖𝑚 𝜞𝑚𝑘𝑗) 𝐀 <- 역기저 vector에 대한 covariant 미분   [14.4.7]
        ∘   .... If 𝐀 = 𝐴𝑖.𝑗 𝐠𝑖 ⊗ 𝐠𝑗, then ∂𝐀/∂𝜉𝑘 = 𝐴𝑖.𝑗𝑘 𝐀 = (∂𝐴𝑖.𝑗/∂𝜉𝑘 + 𝐴𝑚.𝑗 𝜞𝑖𝑘𝑚 - 𝐴𝑖.𝑚 𝜞.𝑚𝑗𝑘) 𝐀 <- 혼합 성분에 대한 미분   [14.4.8]
      e) Gradient(구배) :  𝛁𝜙  or  𝛁𝐮  or  𝛁𝐀  <- 𝛁 ≡ 𝐠𝑗 ∂/∂𝜉𝑗 사용 (이하 동일)
        ∘ scala field 구배: 𝛁𝜙 ≡ 𝐠𝑗 ∂𝜙/∂𝜉𝑗;  𝛁𝜙  = 𝜙.𝑗 𝐠𝑗 or 𝜙.𝑗;  𝛁𝜙 =  𝜙.𝑗 𝐠𝑗 = 𝑔𝑖𝑗𝜙.𝑗 𝐠𝑖 = 𝑔𝑖𝑗√ 𝑔𝑖̄𝑖̄ 𝜙.𝑗 𝐞𝑖   [14.5.1-3]
        ∘ vector field 구배: 𝐮 = 𝑢𝑖 𝐠𝑖 = 𝑢𝑖 𝐠𝑖 경우
            𝛁𝐮 = 𝛁 ⊗ 𝐮 = 𝐠𝑗 ∂𝐮/∂𝜉𝑗 = 𝑢𝑖𝑗 𝐠𝑖 ⊗ 𝐠𝑗 =  𝑢𝑖𝑗 𝐠𝑖 ⊗ 𝐠𝑗  <- 𝑢𝑖𝑗 = 𝑢𝑖,𝑗 - 𝑢𝑘 𝜞𝑘𝑖𝑗,  𝑢𝑖𝑗 = 𝑢𝑖,𝑗 + 𝑢𝑘 𝜞𝑖𝑘𝑗  or  𝑢𝑖𝑗 = 𝑔𝑖𝑘𝑢𝑘𝑗   [14.5.5,6]       
        ∘ tensor field 구배: 𝐀 = 𝐴𝑖𝑗 𝐠𝑖 ⊗ 𝐠𝑗 = 𝐴𝑖.𝑗 𝐠𝑖 ⊗ 𝐠𝑗 경우 (다른 경우도 유사한 방법 적용)
            𝛁𝐀 =  𝐠𝑘 ∂𝐀/∂𝜉𝑗 =  𝐴𝑖𝑗𝑘 𝐠𝑖 ⊗ 𝐠𝑗 ⊗ 𝐠𝑘 = 𝐴𝑖.𝑗𝑘 𝐠𝑖 ⊗ 𝐠𝑗 ⊗ 𝐠𝑘   [14.5.7]
      f) Divergence(발산): 𝛁 ∙ 𝐮  or  𝛁 ∙ 𝐀
        ∘ vector field 발산: 𝐮 = 𝑢𝑖 𝐠𝑖 경우
              𝛁 ∙ 𝐮 = 𝐠𝑗 ∂/∂𝜉𝑗 ∙ 𝐮 =  𝐠𝑗 ∙ (𝑢𝑖 𝐠𝑖).𝑗 = 𝐠𝑗 ∙ 𝑢𝑖𝑗 𝐠𝑖 = 𝑢𝑖𝑗 𝐠𝑗 ∙ 𝐠𝑖 = 𝑢𝑖𝑗 𝛿𝑗𝑖 = 𝑢𝑖𝑖   [14.6.1]
             ∴ 𝛁 ∙ 𝐮 = 𝑢𝑖𝑖 = ∂𝑢𝑖/∂𝜉𝑖 + 𝑢𝑘𝜞𝑖𝑘𝑖 = (1/√𝑔) ∂ √𝑔 𝑢𝑖/∂𝜉𝑖   [14.6.2]  <- ※ ** why? 유도 과정이 없이 나타남
              𝛁 ∙ 𝐮 = 𝑢𝑖𝑖 = (1/√𝑔){∂(√𝑔 𝑢(𝑖)/√𝑔𝑖𝑖)/∂𝜉𝑖}  (𝑢𝑖 = 𝑢(𝑖)/√𝑔𝑖𝑖)  or  𝛁 ∙ 𝐮 = tr(𝛁𝐮) = 𝛁𝐮 : 𝐈   [14.6.3,4]
             ex) 원통 좌표계 (𝜉1 = 𝑟, 𝜉2 = 𝜃,  𝜉3 = 𝑧)에서 vector 장 𝐮 = 𝑢𝑖 𝐠𝑖의 발산을 구하고 물리적 성분으로 표시하시오. ◂
                   𝛁 ∙ 𝐮 = (1/√𝑔)(∂/∂𝜉𝑖)(√ 𝑔 𝑢𝑖) = (1/√ 𝑔){(∂/∂𝜉1)(√ 𝑔 𝑢1) + (∂/∂𝜉2)(√ 𝑔 𝑢2) + (∂/∂𝜉3)(√ 𝑔 𝑢3)}  
                           = 1/𝑟{(∂/∂𝑟)𝑟𝑢𝑟 + (∂/∂𝜃)𝑢𝜃 + (∂/∂𝑧)𝑟𝑢𝑧} = ∂𝑢𝑟/∂𝑟 + (1/𝑟)(∂𝑢𝜃/∂𝜃 + 𝑢𝑟) + ∂𝑢𝑧/∂𝑧   [14.6.5]  
                   𝑔11 = 𝑔33 = 1,  𝑔22 = 𝑟2 기타: 0,  𝑔 (≡ det [𝑔𝑖𝑗]) = 𝑟2,  𝐞𝑖 = 𝐠𝑖/∥𝐠∥ = 𝐠𝑖/√ 𝑔𝑖̄𝑖̄;  물리적 성분 𝑢1 = 𝑢𝑟,  𝑢2 = 𝑢𝜃/𝑟,  𝑢3 = 𝑢𝑧 ▮          
        ∘ tensor field 발산: 𝐀 = 𝐴𝑖𝑗 𝐠𝑖 ⊗ 𝐠𝑗 경우
                  𝛁 ∙ 𝐀 = 𝐠𝑘 ∙ ∂𝐀/∂𝜉𝑘 = 𝐠𝑘 ∙ 𝐴𝑖𝑗𝑘 𝐠𝑖 ⊗ 𝐠𝑗 = 𝐴𝑖𝑗𝑘 (𝐠𝑘 ∙ 𝐠𝑖) 𝐠𝑗 = 𝐴𝑖𝑗𝑘 𝛿𝑘𝑖 𝐠𝑗 = 𝐴𝑖𝑗𝑖 𝐠𝑗  <- tensor의 미분,  𝐚 ∙ (𝐛 ⊗ 𝐜) = (𝐚 ∙ 𝐛) 𝐜   [14.6.7-9]
      g) Laplacian: 𝛁2𝜙  or  𝛁2𝐯
              𝛁2 = 𝛁 ∙ 𝛁 = 𝐠𝑖 ∂/∂𝜉𝑖 ∙ (𝐠𝑗 ∂/∂𝜉𝑖) = 𝐠𝑖 (∂𝐠𝑗/∂𝜉𝑖)(∂/∂𝜉𝑖) + 𝐠𝑖 ∙ 𝐠𝑗2/(∂𝜉𝑖∂𝜉𝑗)  <- by product rule
                                 = 𝑔𝑖𝑘 𝐠𝑘 ∙ (∂𝐠𝑗/∂𝜉𝑖)(∂/∂𝜉𝑖) + 𝑔𝑖𝑗(∂2/∂𝜉𝑖∂𝜉𝑗) = 𝑔𝑖𝑗(∂2/∂𝜉𝑖∂𝜉𝑗) - 𝑔𝑖𝑘𝜞𝑗𝑖𝑘(∂/∂𝜉𝑖)  <- metric tensor, kronecker delta   [14.7.1]
             ∴ 𝛁2 = 𝑔𝑖𝑗(∂2/∂𝜉𝑖∂𝜉𝑗) - 𝑔𝑖𝑘𝜞𝑗𝑖𝑘(∂/∂𝜉𝑖)   [14.7.2]
        ∘ scala field Laplacian: 𝛁2𝜙 = 𝛁 ∙ 𝐯 = (1/√𝑔) ∂√𝑔 𝑣𝑖/∂𝜉𝑖 = (1/√𝑔) ∂√𝑔 𝑔𝑗𝑖𝜙.𝑖/∂𝜉𝑖  <- vector field 발산, scalar의 구배, 𝑣𝑖 =  𝑔𝑗𝑖𝜙.𝑖   [14.7.3]
        ∘ vector field Laplacian: 𝛁2𝐯 = 𝑔𝑖𝑗2𝐯/∂𝜉𝑖∂𝜉𝑗 - 𝑔𝑖𝑘𝜞𝑗𝑖𝑘∂𝐯/∂𝜉𝑖   [14.7.6]

p.s.  * why? [14.2.19]: vector (𝐚 ∙ 𝐛) 𝐜 = 𝐚 (𝐛 ∙ 𝐜) 관계식이 성립하는지는 나중에 ...


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