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미분기하학 2: Fundamental Form I and II
    김관석  (Homepage) 2019-06-16 16:51:19, 조회수 : 293
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4. The First Fundamental Form <- Figure I-24 참조

    ∘  If 𝛂(t) = 𝐗 (u(t), v(t)), a≤ t ≤b, <- a curve on a surface; s = s(t): arc length, total length L = s(b) = ∫ba∥𝛂'(t)∥dt,
        (ds/dt)2 = ∥𝛂'∥2 =  𝛂' ∙ 𝛂' = (u'𝐗1 + v'𝐗2) ∙ (u'𝐗1 + v'𝐗2) = u'2(𝐗1 ∙ 𝐗1) + 2u'v'(𝐗1 ∙ 𝐗2) + v'2(𝐗2 ∙ 𝐗2)  <- by eq.(3)
         𝐸 =  𝐗1 ∙ 𝐗1,  𝐹 =  𝐗1 ∙ 𝐗2,  𝐺 =  𝐗2 ∙ 𝐗2  <- following Gauss   [4-4]
         (ds/dt)2 = 𝐸(du/dt)2 + 2𝐹[(du/dt)(dv/dt)] + 𝐺(dv/dt)2   [4-5]
         ds2 = 𝐸 du2 + 2𝐹 dudv + 𝐺 dv2  <- the first fundamental form 第一基本形式 or metric form 計量形式   [4-6]      
    ∘  If 𝐯 = a𝐗1 + b𝐗2, 𝐰 = c𝐗1 + d𝐗2,  <- (a,b,c,d는 실수) 𝐌의 한점에서의 tangent vectors
        then 𝐯 ∙ 𝐰 =  (a𝐗1 + b𝐗2) ∙ (c𝐗1 + d𝐗2) = 𝐸ac + 𝐹(ad + bc) + 𝐺bd.  
                           ⌈ 𝐸 𝐹 ⌉  ⌈ c ⌉
         𝐯 ∙ 𝐰 = (a,b) ⌊ 𝐹 𝐺 ⌋  ⌊ d ⌋  <- matrix product 표기 방식       [4-8]
    ∘  𝐔 = 𝐗1 ⨯ 𝐗2 /∥𝐗1 ⨯ 𝐗2∥  <- unit normal vector,  ∵  𝐔⊥𝐗1 and 𝐗2, ∥𝐔∥= 1, 𝐗1 ⨯ 𝐗2 ≠ 0
        ∥𝐗1 ⨯ 𝐗22 = (𝐗1 ∙ 𝐗1) (𝐗2 ∙ 𝐗2) - (𝐗1 ∙ 𝐗2)2 = 𝐸𝐺 - 𝐹2  <- the identity of Lagrange   [4-9]
        ∵ 𝐗1 ⨯  𝐗2 = 𝐗1 𝐗2 sin𝜃,  𝐗1 ∙ 𝐗2 = 𝐗1 𝐗2 cos𝜃,  ∣𝐗12 ∣𝐗22 sin2𝜃 = ∣𝐗12 ∣𝐗22 - ∣𝐗12 ∣𝐗22 cos2𝜃
    ∘  𝑔𝑖𝑗 =  𝐗𝑖 ∙ 𝐗𝑗 [※ notaional change] →  𝑔11 = 𝐸, 𝑔21 = 𝐹, 𝑔22 = 𝐺
        ⌈ 𝑔11 𝑔12 ⌉      ⌈ 𝐸 𝐹 ⌉  
        ⌊ 𝑔21 𝑔22 ⌋  =   ⌊ 𝐹 𝐺 ⌋   <- the matrix of the geometric form
    ∘  𝑔 = ∥ 𝐗1 ⨯ 𝐗22  <- let  𝑔 = det (𝑔𝑖𝑗) = 𝐸𝐺 - 𝐹2 [※ notaional change]   [4-10]
    ∘  ds2 =  ∑ 𝑖,𝑗 𝑔𝑖𝑗du𝑖du𝑗  [※ notaional change]  <- by eq.(6)
    ∘  𝐯 ∙ 𝐰 =  ∑ 𝑖,𝑗 𝑔𝑖𝑗v𝑖w𝑗 [※ notaional change]  <- by eq.(8);  𝐯⊥𝐰, if and only if * 𝐯 ∙ 𝐰 = 0.   [4-11]
    ∘  𝛂' = ∑ 𝑖 = u𝑖'𝐗𝑖 [※ notaional change]  <- by eq.(3)
    ∘  𝑔𝑖𝑗: the components of the matrix inverse of (𝑔𝑖𝑗) ↦ (𝑔𝑖𝑗)(𝑔𝑖𝑗) = 𝐈  <- 𝐈: identity matrix
        ∑ 𝑖,𝑗 𝑔𝑖𝑗𝑔𝑗𝑘 = 𝛿𝑘𝑖,  𝛿𝑘𝑖 = {(1 if 𝑖 = 𝑘), (0 if 𝑖 ≠ 𝑘)}   [4-12]
        𝑔11 = 𝑔22/𝑔,  𝑔12 = 𝑔21 = -𝑔12/𝑔,   𝑔22 = 𝑔11/𝑔  <-  inverse matrix**,  𝑔 = det (𝑔𝑖𝑗); if and only if  𝑔 ≠ 0
    ∘  If a surface 𝐗;𝐃 → E3, a region 𝛺 ⊂ 𝐃 on which 𝐗 is one-to-one, 어떻게 𝐗(𝛺) 면적을 발견할 수 있을까요?  
       먼저 𝛺를 u1, u2축을 따라 각변이 𝛥u1, 𝛥u2인 작은 직사각형으로 나눈 후에 이를 𝐗(𝛺)로 mapping해 봅니다.
       𝐗(𝛺)에서 𝛺에서의 작은 사각형들이 유사 평행사변형으로 되며 각변은 ∥𝐗1∥𝛥u1,∥𝐗2∥𝛥u2가 됩니다.
       ∴ 𝛥𝐴 ≈∥𝐗1∥∥𝐗2∥sin 𝜃 𝛥u1𝛥u2 = ∥𝐗1 ⨯ 𝐗2∥𝛥u1𝛥u2 = (√ 𝑔) 𝛥u1𝛥u2
       𝐀 = ∬𝛺∥𝐗1 ⨯ 𝐗2∥du1du2 = ∬𝛺 (√ 𝑔) du1du2  <- function 𝐗 to 𝛺: one-to-one and regular   [4-13]

5. The Second Fundamental Form <- Figure I-25 참조

      ∘  이후로는 the Einstein Summation Convention 아인슈타인 合의 規約을 적용합니다.  <- Tensor 해석 I-1 참조
      ∘  The Gauss Formulas : a curve 𝛂(s) = 𝐗(u1(s), u2(s)) on 𝐌, s: arc length,  
         unit tangent vector 𝐓 = 𝛂' = u𝑖'𝐗𝑖;  acceleration or curvature vector 𝐓' = 𝛂";  curvature k(s) = ∥𝐓'∥  
         𝛂" = 𝛂"tan + 𝛂"nor  <-  tangent and normal to the surface; in order to study the surface 𝐌   [5-14]
         𝛂" = u𝑖"𝐗𝑖 + u𝑖'd𝐗𝑖/ds  <- by product rule   [5-15]
         𝐗𝑖 ≡ ∂𝐗/∂u𝑖 = ( ∂x/∂u𝑖, ∂y/∂u𝑖, ∂z/∂u𝑖),  𝑖 = 1, 2
         𝐗𝑖𝑗 ≡ ∂2𝐗/∂u𝑗∂u𝑖 =  ∂𝐗𝑖/∂u𝑗 = ( ∂2x/∂u𝑗∂u𝑖, ∂2y/∂u𝑗∂u𝑖, ∂2z/∂u𝑗∂u𝑖),  𝑖,𝑗 = 1, 2
         𝐗𝑖 = 𝐗𝑖(u1(s), u2(s)) → d𝐗𝑖/ds = (∂𝐗𝑖/∂u1) u1' + (∂𝐗𝑖/∂u2) u2' = (∂𝐗𝑖/∂u𝑗)u𝑗' = u𝑗'𝐗𝑖𝑗  <- by chain rule
         𝛂" = u𝑟"𝐗𝑟 + u𝑖'u𝑗'𝐗𝑖𝑗   [5-16]
         𝐗𝑖𝑗 = 𝛤𝑟𝑖𝑗𝐗𝑟 + 𝐿𝑖𝑗𝐔,  𝑖,𝑗 = 1,2  <- formulas of Gauss; cf) Tensor 해석 II-4 b) Christoffel 기호   [5-17]
         𝛂" = 𝛂"tan + 𝛂"nor = (u𝑟" + 𝛤𝑟𝑖𝑗 u𝑖'u𝑗')𝐗𝑟 + (𝐿𝑖𝑗 u𝑖'u𝑗')𝐔   [5-18]
           𝛂" = [u1" +  𝛤111(u1')2 +  2𝛤112u1'u2' + 𝛤122u2')2]𝐗1 + [u2" +  𝛤211(u1')2 +  2𝛤212u1'u2' + 𝛤222(u2')2]𝐗2
                 + [𝐿11(u1')2 + 2𝐿12u1'u2' + 𝐿22(u2')2]𝐔  <- full equation by the Einstein summation convention
     ∘  𝐿𝑖𝑗 u𝑖'u𝑗'  <- the second fundamental form of the surfaces   [5-19]
        𝐿𝑖𝑗 =  𝐗𝑖𝑗 ∙ 𝐔,  𝑖,𝑗 = 1,2  <- how does it curve relative that space? extrinsic(外在的) geometry   [5-20]
            ex) Let 𝐗(u,v) = (u, v, f(u,v)), (u,v) ∊ D, then 𝐗1 = (1, 0, fu), 𝐗2 = (0, 1, fv).
               𝐸 = 1 + fu2,  𝐹 = fuv,  𝐺 = 1 + fv2,  𝑔 = 𝐸𝐺 - 𝐹2 = 1 + fu2 + fv2,  𝐗1 ⨯ 𝐗2 = (-fu, -fv, 1),  𝐔 = (-fu, -fv)/√ 𝑔
               𝐗11= (0, 0, fuu), 𝐗12= (0, 0, fuv), 𝐗11= (0, 0, fvv) → 𝐗𝑖𝑗 = (0, 0, f𝑖𝑗); ∴ 𝐿𝑖𝑗 = f𝑖𝑗 / √ 𝑔,  𝑖,𝑗 = 1, 2

     ∘  Definition I-3
         𝐯 = v𝑖 𝐗𝑖가 𝐏에서 𝐌에 접하는 unit vector라면, 𝐯 방향으로의 the normal curvature 法曲率 𝑘n(𝐯)는
         𝑘n(𝐯) = 𝐿𝑖𝑗 v𝑖v𝑗 식으로 정의한다.   [5-21]

     ∘  𝛂가 𝐌에 있는 임의의 곡선으로 𝛂(s0) = 𝐏, 𝛂(s0)' = 𝐯,  𝛂(s0)'= u𝑖'(s0)𝐗𝑖(u1(s0, u2(s0), ∴ v𝑖 =  u𝑖'(s0)  
         𝑘n(𝐯) = 𝐿𝑖𝑗 u𝑖'u𝑗' = 𝛂" ∙ 𝐔 = ∓∥𝛂"∥ <- by eq.16 에서 ur" 𝐗r ∙ 𝐔 = 0; eq. 20   [5-22]
         다음과 같이 '0'이아닌 tangent vector에 대해서 normal curvature의 개념을 확장시킬 수 있습니다.
         𝑘n(𝐯) =  𝐿𝑖𝑗 v𝑖v𝑗/∥𝐯∥2 = 𝐿𝑖𝑗 v𝑖v𝑗/ 𝐗m ∙ 𝐗n = 𝐿𝑖𝑗 v𝑖v𝑗/ 𝑔mnvmvn  <-  by eq. 21 우변의 v를 v/∥v∥로 교체함.
          
p.s.  곡면 𝐌 위에 있는 곡선 방정식의 1차 2차 미분 결과를 이용해서 곡면 자체의 curvature를 발견하는 것이 핵심임.       
        특히 곡면 위에서의 Christoffel symbols를 포함한 Gauss Formulas-'Tensor 해석 II-2'과 비교됨-에 주목 바람~
       * 'if and only if ' 혹은 줄여서 'iff '라고도 쓰는데 동치(同値) 또는 필요충분조건을 가리킴.
       **  inverse matrix(逆行列) 𝐀-1 = (Ȃ𝑖𝑗)T/det 𝐀, Ȃ𝑖𝑗 = (-1)𝑖+𝑗𝑀𝑖𝑗,  𝑀𝑖𝑗: minor matrix


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