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미분기하학 4: Curvature Tensor etc.
    김관석  (Homepage) 2019-06-16 16:55:58, 조회수 : 170
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8. Curvature Tensor And The Theorema Egregium(빼어난 定理)

     ∘  The Gauss Formulars: 𝐗𝑖k = 𝛤h𝑖k 𝐗h + 𝐿𝑖k 𝐔,  𝑖k = 1,2 <- Eq. (17)                                                                        (47)
     ∘  The Weingarten Formulars: 𝐔𝑗 = - 𝐿𝑗𝑖 𝐗𝑗,  𝑖 = 1,2;  𝐿𝑗𝑖 = 𝐿𝑖𝑘𝑔𝑘𝑗, 𝑖 = 1,2  <- Eq. (28)                                                   (48)
     ∘  Theorem I-11 (Theorema Egregium ) 빼어난 定理  
         한 곡면의 the Gauss cuvature는 the metric form, 그리고 그 첫번째와 두번째 derivatives(導函數)의 계수들의 함수이다.  
         그러므로 intrinsic하다(內在的이다).     
         Proof. 𝐗𝑖k𝑗 = ∂𝛤h𝑖k/∂u𝑗 𝐗h + 𝛤h𝑖k 𝐗h𝑗 + ∂𝐿𝑖k/∂u𝑗 𝐔 + 𝐿𝑖k 𝐔𝑗  <- Eq. (47)의 양변을 u𝑗에 대해 미분하고 ∂𝐗𝑖k/∂u𝑗를 𝐗𝑖k 𝑗라 표기함
         𝐗𝑖k𝑗 = (∂𝛤h𝑖k/∂u𝑗 + 𝛤r𝑖k𝛤hr𝑗 - 𝐿𝑖k𝐿h𝑗)𝐗h + (𝛤r𝑖k𝐿r𝑗 + ∂𝐿𝑖k/∂u𝑗) 𝐔  <- 𝐔𝑗 = - 𝐿h𝑗 𝐗h,  𝛤h𝑖k 𝐗h𝑗→ 𝛤r𝑖k 𝐗r𝑗(index 조정)                  (49)
         𝐗𝑖𝑗k = (∂𝛤h𝑖𝑗/∂uk + 𝛤r𝑖𝑗𝛤hrk - 𝐿𝑖𝑗𝐿hk)𝐗h + (𝛤r𝑖𝑗𝐿rk + ∂𝐿𝑖𝑗/∂uk) 𝐔  <- switching 𝑗 and k                                                     (50)
         ∂𝛤h𝑖k/∂u𝑗 - ∂𝛤h𝑖𝑗/∂uk + 𝛤r𝑖k𝛤hr𝑗 - 𝛤r𝑖𝑗𝛤hrk = 𝐿𝑖k𝐿h𝑗 - 𝐿𝑖𝑗𝐿hk  <-  𝐗𝑖k𝑗 = 𝐗𝑖𝑗k ∵ 偏微分의 순서는 무관함                                 (51)                    
         𝑅h𝑖𝑗k =  ∂𝛤h𝑖k/∂u𝑗 - ∂𝛤h𝑖𝑗/∂uk + 𝛤r𝑖k𝛤hr𝑗 - 𝛤r𝑖𝑗𝛤hrk,  h,𝑖,𝑗,k = 1,2  <- Christoffel 기호는 𝑔𝑖𝑗관련 함수이므로 intrinsic!           (52)
         𝑅h𝑖𝑗k = -𝑅h𝑖k𝑗  <- Riemann-Christoffel curvature tensor *                                                                           (53)        
         𝑅h𝑖𝑗k = 𝐿𝑖k𝐿h𝑗 - 𝐿𝑖𝑗𝐿hk  <- by Eq. (51); formula on the second fundamental form                                                      (54)
         𝑅m𝑖𝑗k ≡ 𝑔mh 𝑅h𝑖𝑗k  <- by Eq. (52) intrinsic!;  𝑅r𝑖𝑗k ≡ 𝑔mr 𝑅mm𝑖𝑗k [inverse relation by Eq. (12)]                                   (55)
         𝑅m𝑖𝑗k =  𝐿𝑖k𝐿𝑗m - 𝐿𝑖𝑗𝐿km  <- Eq. (54) 양변에 𝑔mh 곱하고 Eq. (27) [𝐿𝑖𝑗 ≡ 𝐿𝑗𝑘 𝑔𝑘𝑖,  𝑖,𝑗 =1,2]에 따라 정리함                         (56)
         𝐊 = 𝑅1212/𝑔  <- 𝑅1212 = 𝐿22𝐿11 - (𝐿21)2 = det (𝐿𝑖𝑗) = 𝐿; ∴ The Gauss cuvature is determined by the metric form. ∎    (57)
     ∘  The Formula for 𝐊 on the first fundamental form  
         𝑅m𝑖𝑗k = 𝑔mh ∂𝛤h𝑖k/∂u𝑗 + 𝛤r𝑖k 𝛤r𝑗m - switch(𝑗,k)  <- by Eqs. (52). (55) and (33); ∵ 𝛤r𝑗m = 𝛤hr𝑗 𝑔mh
         𝛤𝑖𝑗m = 𝑔mh 𝛤h𝑖k 양변을 u𝑗에 대해 미분 → ∂𝛤𝑖km/∂u𝑗 = 𝑔mh ∂𝛤h𝑖k/∂u𝑗 + 𝛤h𝑖k ∂𝑔mh/∂u𝑗,  𝑔mh ∂𝛤h𝑖k/∂u𝑗 = ∂𝛤𝑖km/∂u𝑗 - 𝛤h𝑖k ∂𝑔mh/∂u𝑗
         ∴ 𝑅m𝑖𝑗k = ∂𝛤𝑖km/∂u𝑗 + 𝛤h𝑖k 𝛤h𝑗m - 𝛤h𝑖k ∂𝑔hm/∂u𝑗 - switch(𝑗,k)
         𝛤𝑖km = 1/2 (∂𝑔𝑖m/∂uk + ∂𝑔mk/∂u𝑖 - ∂𝑔k𝑖/∂um)  <- by Eq. (36);  ∂𝑔hm/∂u𝑗 = 𝛤h𝑗m + 𝛤m𝑗h = 𝛤h𝑗m + 𝛤rm𝑗 𝑔rh  <- Eq. (35a)
         𝑅m𝑖𝑗k = 1/2 (∂2𝑔𝑖m/∂u𝑗∂uk + ∂2𝑔mk/∂u𝑗∂u𝑖 - ∂2𝑔k𝑖/∂u𝑗∂um) +  𝛤h𝑖k 𝛤h𝑗m - 𝛤h𝑖k(𝛤h𝑗m + 𝛤rm𝑗 𝑔rh)  - switch(𝑗,k)
         𝑅m𝑖𝑗k = 1/2 (∂2𝑔km/∂u𝑗∂u𝑖 -  ∂2𝑔𝑗m/∂u𝑖∂uk + ∂2𝑔𝑖𝑗/∂uk∂um - ∂2𝑔𝑖k/∂u𝑗∂um) +  (𝛤h𝑖𝑗 𝛤rmk - 𝛤h𝑖k 𝛤rm𝑗)𝑔rh                              (58)
         ∴ 𝑅1212 = 1/2((∂2𝑔21/∂u1∂u2 -  ∂2𝑔11/∂u2∂u2 + ∂2𝑔21/∂u2∂u1 - ∂2𝑔22/∂u1∂u1) +  (𝛤h21 𝛤r12 - 𝛤h22 𝛤r11)𝑔rh
         𝐊 = 𝑅1212/𝑔 = 1/𝑔[𝐹uv - 1/2 𝐸vv - 1/2 𝐺uu + (𝛤h21 𝛤r12 - 𝛤h22 𝛤r11)𝑔rh] → 直交座標系로 가정하면 𝐹 = 0; by Eq. 40 →
         𝐊 = 1/𝐸𝐺 [- 1/2 𝐸vv - 1/2 𝐺uu + (𝐸v2/4𝐸2 +  𝐸u𝐺u/4𝐸2)𝐸 +  (𝐺u2/4𝐺2 +  𝐸v𝐺v/4𝐺2)𝐺] → with a litte manipulation →
         𝐊 = 1/(2√𝐸𝐺) [{√𝐸𝐺 𝐺uu- 𝐺u(𝐸𝐺u + 𝐸u𝐺)/(2√𝐸𝐺)}/𝐸𝐺  + {√𝐸𝐺 𝐸vv- 𝐸v(𝐸𝐺v + 𝐸v𝐺)/(2√𝐸𝐺)}/𝐸𝐺] or
         𝐊 = 1/(2√𝐸𝐺) [∂(𝐺u/√𝐸𝐺)/∂u + ∂(𝐸v/√𝐸𝐺)/∂v]                                                                                                   (59)
     ∘   The equation of 𝐊  
         Eq. (56) [𝑅m𝑖𝑗k =  𝐿𝑖k𝐿𝑗m - 𝐿𝑖𝑗𝐿km] looks like 24 = 16 equations but in fact only one equation 𝑅1212 = 𝐿 = 𝐊/𝑔!  By Eq. (58),
         𝑅m𝑖𝑗k = - 𝑅𝑖m𝑗k,  𝑅m𝑖𝑗k = - 𝑅𝑖mk𝑗,  𝑅m𝑖𝑗k = 𝑅𝑗km𝑖 <- antisymmetry: the first & last pair, symmetry: interchange of them (60abc)
         𝑅11𝑗k = 𝑅22𝑗k = 𝑅m𝑖11 = 𝑅m𝑖22 = 0.
         𝑅1212 = 𝑅2121 = - 𝑅2112 = - 𝑅1221 = 𝐊𝑔.

9. Manifolds(多樣體) <- Figure I-29 참조 [단, 𝐗→𝐗¹, 𝐃→𝐃¹; 𝐗̄→𝐗², 𝐃̄→𝐃²]  

      ∘  E3 내의 surface 曲面의 일반화 필요성  
         첫째,  𝐗:𝐃 → E3라는 정의는 너무 제한적이라 단일 mapping이 안되기도 하며, 그 결과가 국지적 직관에 반할 수 있습니다. 
         둘째,  그 전개를 주어진 매개화한 𝐗로 하지만, 우리는 그 𝐗와 독립적으로 surface의 참된 기하학적 특성을 알기를 원합니다.  
         마지막으로, 우리는 이론의 내재적 부분을 고차원으로 확장해야 하는데, E3 vector에 대한 심한 의존이 심각한 결함입니다.  
     ∘   𝐌은 그 원소들을 points 点이라 부르는 non-empty set(非空 집합)으로 정의합시다. 또한 𝐌 상의 한 coordinate patch
         座標 조각이란 E2의 열린 부분집합 𝐃에서 𝐌으로의 한 one-to-one function 𝐗:𝐃 → 𝐌입니다.  
     ∘  Definition I-12
         한 abstract surface or 2-manifold 는 다음 조건의 𝐌 상의 coordinate patch들의 collection 𝒞와 함께 하는 𝐌집합이다.
         a.  𝐌은 𝒞 안의 patch들의 image들의 합집합이다.  
         b.  𝒞 안의 그 patch들은 overlap smoothly 매끄럽게 重疊한다, 즉, 만약 𝐗¹:𝐃¹ → 𝐌과 𝐗²:𝐃² → 𝐌가 𝒞 안의 두 patch라면,
              그 composite function 𝐗̄²-1∘ 𝐗¹ 와 𝐗¹-1∘ 𝐗² 는 open domains(定義域)을 갖으며 또한 smooth하다.  <- Figure I-29 참조
         c.  𝐌에 두 점 𝐏와 𝐏'가 주어지면,  𝐏 ∊ 𝐗¹(𝐃¹), 𝐏' ∊ 𝐗²(𝐃²) 그리고 𝐗¹(𝐃¹) ∩ 𝐗²(𝐃²) = 𝜙(empty set)인 𝒞 안의 patch들  
              𝐗¹:𝐃¹ → 𝐌과 𝐗²:𝐃² → 𝐌이 존재한다   <- Hausdorf property: 𝐏, 𝐏' 근방에 안 겹치는 patch를 각기 갖을 수 있음
         d.  𝒞 의 모든(every) patch와 smoothly 중첩하는 𝐌 상의 어떠한(any) coordinate patch도 𝒞 안에 있는 그 자체이다.
              그러한 의미에서 the collection 𝒞 는maximal 極大하다.
     ∘   domain 定義域이란 function이 정의된 가장 큰 집합을 의미합니다. 예) 𝐗²-1∘ 𝐗¹ 의 domain: 𝐗¹-1[𝐗¹(𝐃¹) ∩ 𝐗²(𝐃²)]                       
         smooth 매끄러움이란 우리 목적을 위해 충분히 미분 가능함을 의미합니다. (보통은 최소 연속 3차의 편미분 가능함)
     ∘   때때로 The collection 𝒞 는 𝐌 상의 differentiable structure, 𝒞 의 patches는 admissible patches 라고도 부릅니다.        
         Definition I-12 (a)(b)(c)만을 만족하는 𝐌 상의 patch들의 어떤 collection 𝒞'가 smoothly 중첩하는 모든 patch들과 결합해서  
         즉시 𝐌 상의 differentiable structure로 확장될 수 있다면, 𝒞'는 그 differentiable structure를 generate 生成한다고 합니다.  
     ∘   한 admissible patch 𝐗¹:𝐃¹ → 𝐌가 𝐏의 local coordinates 局地 座標라 부르는 유일한 ordered pair 𝐗¹-1(𝐏) = (u1, u2)와
          𝐗¹(𝐃¹)의 각 점에서 결합합니다(associate). 만일 𝐗²:𝐃² → 𝐌가, 𝐗²(𝐃²)의 각 점에게 local coordinates (ū1, ū2)와 결합하는
         어떤 두번째 admissible patch라면, 𝐗¹(𝐃¹) ∩ 𝐗²(𝐃²)의 점들은 두개의 local coordinates pair (u1, u2)와 (ū1, ū2)를 갖으며,
         composite function 𝐗²-1∘ 𝐗¹ 와 𝐗¹-1∘ 𝐗²는 ū1와 ū2를 u1와 u2의 smooth function으로 만들며, 거꾸로도 또한 같습니다.
         𝐗²-1∘ 𝐗¹ 는 ū𝑖 =  ū𝑖 (u1, u2),  𝑖 = 1,2 로 주어지며,  𝐗¹-1∘ 𝐗²는 u𝑖 =  u𝑖1, ū2),  𝑖 = 1,2 로 주어집니다.                      (61ab)  
         이들이 바로 a change of coordinates 座標系 變換을 위한 방정식들입니다.
     ∘   우리는 mapping 𝐗이라 하는 대신 가끔 단순히 (u1, u2)를  𝐌 안의 local coordinate system으로 참고하기도 할 것입니다.    
         앞에서 해온 것을 계속하기 위해 가끔은 local coordinates (u, v)라고 부르기도 할 겁니다. 물론, Section 3에서 의미하는 
         every  parametriized surface는 a coordinate patch이며 그 image에다가 differential structure를 생성합니다.   
     ∘  만일 𝐏 ∊ 𝐗(𝐃), 𝐗(𝐃) ⊂ 𝛺인 admissible patch 𝐗:𝐃 → 𝐌이 있으면, 𝐌의 한 부분집합 𝛺를 𝐌의 한 점 𝐏의 neighborhood  
        近傍이라고 부릅니다. 만일 𝐌의 부분집합이 그 점들 각각의 한 neighborhood라면 open 열려있다고 부릅니다.
     ∘  Definition I-13
         𝛺가 2-mainifold 𝐌의 한 열린 집합이라고 하자. 만일 function 𝑓 ∘ 𝐗가 𝐌 안에서 모든 admissible patch를 위해서  
         smooth하다면, function 𝑓:𝛺 → 𝓡도 smooth하다고 부르게 된다. 만일 𝑓:𝛺 → 𝓡이 smooth하고  𝐗:𝐃 → 𝐌가 image가
         𝛺를 만나는 an admissible patch라면, ∂𝑓/∂u𝑖: 𝐗(𝐃) ∩ 𝛺 → 𝓡,  𝑖 = 1,2 를 다음과 같이 정의한다.
              ∂𝑓/∂u𝑖 ≡ [∂(𝑓 ∘ 𝐗)/∂u𝑖] ∘ 𝐗-1                                                                                                                    (62)
         즉, 𝐗(𝐃) ∩ 𝛺안의 각 점에 대해 ∂𝑓/∂u𝑖(𝐏)= [∂(𝑓 ∘ 𝐗)/∂u𝑖] ∘ (𝐗-1(𝐏)). 이것이 𝑓의 u𝑖 에 대한 partial derivative 이다.      
     ∘  각 𝑖에 대해 ∂/∂u𝑖는 미분 product rule을 만족함. ∴ ∂/∂u𝑖(𝑓𝑔) = 𝑓(∂𝑔/∂u𝑖) +  𝑔(∂𝑓/∂u𝑖)  <- 𝑓, 𝑔의 domain이 같다고 가정
         𝐗¹(𝐃¹)안의 각 점에 대해서, ∂/∂u𝑖(𝐏)[𝑓] = ∂𝑓/∂u𝑖(𝐏)    <- 𝑓가 𝐏의 한 neighborhood에 정의된 smooth function라고 가정
        만일 𝐗²:𝐃² → 𝐌가 또다른 admissible patch라면, overlap 𝐗¹(𝐃¹) ∩ 𝐗²(𝐃²)에서 다음의 operator 항등식을 갖습니다.
            ∂/∂u𝑖 = (∂ū𝑗/∂u𝑖) ∂/∂ū𝑗,  𝑖 = 1,2  ∂/∂ūk = (∂u𝑖/∂ūk) ∂/∂u𝑖,  k = 1,2  <- from Eq. (61) and multivariable chain rule   (63ab)
     ∘  Definition I-14
         m이 양의 정수라 하고 𝒪는 Em의 open 부분집합이라고 하자. 만일 𝐌 상의 𝐗-1 ∘ 𝑓이 모든 admissible patch 𝐗에 대해  
         smooth하다면, function 𝑓:𝒪 → 𝐌도 smooth하다고 부른다. 만일 𝒪가 open이 아니라도,  𝑓가 open domain을 갖는
         약간의 smooth function인 𝒪에게만 제한이면, 우리는 𝑓:𝒪 → 𝐌가 smooth하다고 부른다. 𝐌 안의 한 curve 曲線은  
         한 interval에서 𝐌으로의 한 smooth function이다. 따라서 𝛂:𝐼 → 𝐌이 𝐌 안의 곡선이며 𝐗가 𝛂의 것을 포함하는 image의  
         한 admissible patch라면, 우리는 smooth function t와 (𝐗-1 ∘ 𝛂)(t) =  (u1(t), u2(t)) 혹은  𝛂(t) =  𝐗(u1(t), u2(t))를 갖는다.  
    ∘   이제는 E3의 vector space stucture가 없기 때문에, 새롭게 abstract surface에 대한 tangent vector를 정의해야만 합니다.  
         하지만 E3 모든 vector는 해당 directional derivative operator와 결합합니다.  𝐃𝐯 =  a ∂/∂x +  b ∂/∂y + c ∂/∂z.         
        그래서 vector를 arrow가 아니라 operator로 생각하고, 먼저 velocity vector를 곡선의 directional derivative로 정의합니다.  
    ∘  Definition I-15
         𝛂:𝐼 → 𝐌가 the 2-manifold 𝐌 상의 곡선이라고 하자. 𝛂의 𝛂(t)에서의 velocity vector 는 𝛂(t)의 한 neighborhood에  
         정의된 모든 smooth real-valued function 𝑓를 위한 다음의 operator 𝛂'(t)이다.   𝛂'(t)[𝑓] = (𝑓 ∘ 𝛂)'(t) = d/dt [𝑓(𝛂(t))]                         
    ∘  Definition I-16
         𝐏가 2-manifold 𝐌 상의 한 점이라고 하자. 만일 𝐏를 통과하며 𝐏에서 velocity vector 𝐯를 갖는 𝐌 안의 곡선이 존재하면,  
         𝐌의 각 smooth real-valued function 𝑓에 실수 𝐯[𝑓]를 부여하는 operator 𝐯를 𝐌 at 𝐏로의 tangent vector 라 부른다.  
         𝐌 at 𝐏로의 모든 tangent vector의 집합을 𝐌 at 𝐏의 the tangent plane 라고 부르며, 𝐓𝐏𝐌 이라고 표기한다.  
    ∘   𝛂는 𝐌 상 곡선이고 𝐗:𝐃 → 𝐌는 어떤 고정된 t를 위한 한 점 𝛂(t)의 neighborhood의 local coordinates (u1, u2)를 정의하는
        한 admissble patch라고 합시다. 그러면 어떤 𝐌 상의 smooth function 𝑓를 위해서 (from multivariable chain rule),  
             𝛂'(t)[𝑓] = d/dt [𝑓 ∘ 𝐗(u1(t), u2(t))] = ∂(𝑓 ∘ 𝐗)/∂u𝑖 (𝐗-1∘ 𝛂(t)) du𝑖/dt = ∂𝑓/∂u𝑖 (𝛂(t)) u𝑖'(t)
             따라서 𝛂'(t) = u𝑖'(t) ∂/∂u𝑖(t) 혹은 축약된 표기로,  𝛂' = u𝑖'∂/∂u𝑖                                                                       (64)
        그러므로 한 점 𝐏 =  𝐗(u1, u2)의 어떤 tangent vector 𝐯는 ∂/∂u1(𝐏)과 ∂/∂u2(𝐏)의 선형 결합입니다.
             𝐯 = v𝑖 ∂/∂u𝑖(𝐏)   <-  계수 𝐯[u𝑖] = v𝑗,  𝑗 = 1,2  (∵  u𝑗/u𝑖 =  𝛿𝑗𝑖)                                                                          (65)
        𝐓𝐏𝐌은 이처럼 ∂/∂u1(𝐏)과 ∂/∂u2(𝐏)로 생성된(spanned) 한 vector space입니다. (두 vecter는 선형 독립하며 기저가 됨.)
    ∘  두개의 local coordinates system을 적용하면, tangent vector 𝐯는 두가지 coordinate 표현(representation)을 갖습니다.
             𝐯 = v𝑖 ∂/∂u𝑖(𝐏) = v̄𝑗 ∂/∂ū𝑗(𝐏)                                                                                                                      (66)
             v̄𝑗 = v𝑖 ∂ū𝑗/∂u𝑖(𝐏),  𝑗 = 1,2,  v𝑖 = v̄𝑗 ∂u𝑖/∂ū𝑗(𝐏),  𝑖 = 1,2  <- by Eq. (66)                                                            (67ab)
    ∘  Definition I-17
         𝒱가 𝓡 위로 a vector space라 하자. 𝒱 상의 inner product 內積이란 𝒱 안의 각 vector 쌍 𝐯, 𝐰에 다음과 같은 속성에
         따라 실수 <𝐯, 𝐰>를 할당하는 한 규칙(rule)이다.
         a.  <𝐯, 𝐰> = <𝐰, 𝐯> (< , >은 symmetric 對稱이다)         
         b.  <𝑎𝐯 + 𝑎'𝐯',𝐰> = 𝑎<𝐯, 𝐰> + 𝑎'<𝐯', 𝐰> 그리고 <𝐯, 𝑎𝐰 + 𝑎'𝐰'> = 𝑎<𝐯, 𝐰> + 𝑎'<𝐯, 𝐰'> (< , >은 bilinear 二重線形이다)
         c.  <𝐯, 𝐯> ≧ 0 (𝒱 안의 모든 𝐯에 적용), only if 𝐯 = 𝟎, <𝐯, 𝐯> = 0  (< , >은 positive definite 陽의 定符號이다)
    ∘  Definition I-18
         2-manifold 𝐌 상의 Riamannian metric (혹은 metric)은 𝐌의 각 tangent plane로의 inner product < , >의 한 할당이다.
         각 coordinate patch 𝐗:𝐃 → 𝐌를 위하여, function 𝑔𝑖𝑗: 𝐗(𝐃) → 𝓡은 다음과 같이 정의되며, 이들은 smooth해야만 한다.
             𝑔𝑖𝑗(𝐏) = <∂/∂u𝑖 (𝐏), ∂/∂u𝑗 (𝐏)>,  𝑖,𝑗 = 1,2                                                                                                    (68)
         Rimannian metric으로 구비된 하나의 2-manifold를 a Riamannian 2-manifold 라고 부른다. 만약 Definition 1-17의 속성
         c를 아래와 같은 더 약한 조건 c'로 대치하면 앞의 정의를 a semi-Riamannian 2-manifold 라고 부른다.
         c'.  만약 𝒱 안의 모든 𝐰에게서 <𝐯, 𝐰> = 0 이라면, 𝐯 = 𝟎(< , >은 nonsigular 正則이다)
    ∘  Definition 1-17 (a)로부터 우리는 각 local coordinate system 𝑔𝑖𝑗 = 𝑔𝑗𝑖 (모든 𝑖,𝑗에 적용)이 됩니다. 𝑔 = det (𝑔𝑖𝑗)라고 정합니다. 
        만약 (ū1, ū2)가 두번째 local coordinate system이라고 하면, 우리는 유사한 function 𝑔̄𝑖𝑗 = <∂/∂ū𝑖, ∂/∂ū𝑗> 을 갖습니다.
             𝑔̄mn =  𝑔𝑖𝑗  ∂u𝑖/∂ūm  ∂u𝑗/∂ūn,  m,n = 1,2   𝑔𝑖𝑗 = 𝑔̄mn ∂ūm/∂u𝑖 ∂ūn/∂u𝑗,  𝑖,𝑗 = 1,2                                                  (69ab)
        만약 주어진 점에서 tangent vector가 𝐯 = v𝑖 ∂/∂u𝑖 그리고 𝐰 = w𝑗 ∂/∂u𝑗 이면,  <𝐯, 𝐰> = 𝑔𝑖𝑗v𝑖w𝑗                                  (70)
        Eq. (70)의 좌변이 coordinate의 선택에 독립적이므로, 우변도 마찬가지입니다. 그러므로 다른 local coordinate system의
        𝑔̄𝑖𝑗𝑖𝑗 도 같은 값, <𝐯, 𝐰>를 갖아야만 합니다. 바꾸어 말하면, 𝑔𝑖𝑗v𝑖w𝑗 은 an invariant 不變量입니다.
    ∘   어떤 tangent vector 𝐯 를 위해서, ∥𝐯∥= <𝐯, 𝐯>1/2 라고 정의합니다. 만일 𝛂 = 𝛂(t), a ≤ t ≤ b,가 𝐌 안의 곡선이라 하면,
        우리는 그 곡선의 길이를 Section 1에서 처럼, 다음과 같이 정의합니다,   𝐿 = ∫ba∥𝛂'(t)∥dt.
        만일 s = s(t)가 𝛂(a)로부터 𝛂(b)까지의 곡선 거리를 나타낸다면, 𝛂(t)의 neighborhood 안의 어떤 local coordinate system을
        위해서도 다음과 같이 정의됩니다.   (ds/dt)2 =  𝑔𝑖𝑗 du𝑖/dt du𝑗/dt                                                                            (71)
         Eq. (71) 우측변의 invariant 표현(不變式)이 2-manifold의 the metric 計量 혹은 fundamental form 基本形式입니다.
    ∘   local coordinate의 각 system에서, (𝑔𝑖𝑗)를 (𝑔𝑖𝑗)의 역행렬(matrix inverse), 즉, 𝑔𝑖𝑗𝑔𝑗𝑘 = 𝛿𝑘𝑖 (𝑖,𝑘 = 1,2)라고 정의합니다. 그러면
        우리는 Eqs. (36) (37)을 정의로 채택함으로써 각 coordinate system에서 Christoffel symbols 을 정의할 수 있습니다.
    ∘  Definition I-19
         만일 s가 호의 길이인 𝛂 = 𝛂(s)가 𝐌 안의 곡선이라면, 또한 𝛂 편에 정의된 각 local coordinate system에서 다음과 같으면,
         𝛂는 a geodesic 이라 부른다.   d2ur/ds2 + 𝛤r𝑖𝑗 du𝑖/ds du𝑗/ds = 0,  r = 1,2                                                             (72)
         [만일 Eq. (72)가 한 coordinate system에서 유지되면, 두 system이 중첩되는 곳에서, 다른 데에서도 물론 유지됩니다!]
    ∘   Theorems 1-9과 1-10은 그 증명에 있어 단지 부수적인 변경만으로 Rimannian 2-manifolds로 확장됩니다. 실제로 내재적인
        매개화된 곡면을 위한 개념과 결과들도 일반적 Riamannian 2-manifolds로 확장됩니다. 이 section의 모든 기본 아이디어는
        더 고차원으로 일반화합니다. 만일 모든 coordinate patch 𝐗:𝐃 → 𝐌의 domain 𝐃가 Euclidean n-space En의 부분집합이면,
        Definition 1-12은 n-manifold의 정의가 됩니다. Local coordinates는 그러면 n-tuples (u1, u2 ..... un)이고, 또한 각 점 𝐏에서,
        tangent "plane"은 이제 ∂/∂u1(𝐏), ∂/∂u2(𝐏) ..... ∂/∂un(𝐏)에 의해 생성된 n-dimensional tangent space 接空間입니다.    
    ∘   모든 지수들이 1에서 𝑛까지 값을 갖고, (𝑔𝑖𝑗)는 𝑛 x 𝑛 대칭 행렬입니다. curvature tensor 𝑅h𝑖𝑗𝑘의 독립 성분은 𝑛2(𝑛2 -1)/12 이
        되므로, 예를 들어 3차원에서는 6, 4차원에서는 20이 됩니다. 결과적으로 curvature를 기술하려면 한 function 𝐊(𝐏)보다는 더
        많이 필요합니다. 만일 어떤 coordinate patch 𝐗:𝐃 → 𝐌를 위해서 𝐗(𝐃) 전체에서 𝑅h𝑖𝑗𝑘 = 0  (for all h,𝑖,𝑗,𝑘) 이 된다면, 𝐗(𝐃)는
        flat 平平한, 즉, 국지적으로 유클리드 공간과 isometric한(等距離인) 경우입니다.  

p.s.  처음 접한 미분기하학을 비교적 쉽게 이해하게 쓴 Boston College의 Richard Faber 교수에게 경의를 표합니다.
       운 좋게도 East Tennessee States University Robert Gardner 교수의 Classnotes (u. 7/2019)가 공개되어 있었네요!
       최근 고교 동창인 수학자가 알려주어서, Definition I-9 증명에 도움을 받았는데, 대학원용 강의 노트라고 합니다.
       * 이 책에서는 tensor의 정확한 정의를 논의하지는 않고, 모든 좌표계에서 통용된다는 사실만을 언급함.


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