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Tensor 해석 II-3: 동일 적분; 미분기하학의 응용
    김관석  (Homepage) 2019-07-02 16:01:21, 조회수 : 1,150
- Download #1 : Tensor_II_2a.jpg (41.4 KB), Download : 1



       h) Curl(회전): 𝛁 ⨯ 𝐮  or  𝛁 ⨯ 𝐓
               𝛁 ⨯ 𝐮 = 𝐠𝑖 ∂/∂𝜉𝑖 ⨯ 𝐮 = 𝐠𝑖 ⨯ ∂𝐮/∂𝜉𝑖 = 𝐠𝑖 ⨯ 𝑢j𝑖 𝐠𝑗 = 𝑢j𝑖 𝐠𝑖 ⨯ 𝐠𝑗 = 𝝐𝑖𝑗𝑘 𝑢j𝑖 𝐠𝑘  <- 실제로는 단위 기저 vector로 변환하여 계산함   [14.8.1]  
               𝛁 ⨯ 𝐮 =  𝝐𝑖𝑗𝑘 𝑢j𝑖 𝐠𝑘 = (1/√𝑔)𝑒𝑖𝑗𝑘 𝑢j𝑖 𝐞𝑘√𝑔𝑘𝑘 = (1/√𝑔)[(𝑢32- 𝑢23) 𝐞1√𝑔11 - (𝑢13- 𝑢31) 𝐞2√𝑔22 + (𝑢21- 𝑢12) 𝐞3√𝑔33]   [14.8.2,3]  
                                               = (1/√𝑔)[(𝑢3.2 - 𝑢2.3) 𝐞1√𝑔11 + (𝑢1.3 - 𝑢3.1)𝐞2√𝑔22 - (𝑢2.1 - 𝑢1.2) 𝐞3√𝑔33] =
                                                          ∣ 𝐞1√𝑔11   𝐞2√𝑔22    𝐞3√𝑔33
                                                  1/√𝑔 ∣  ∂/∂𝜉1     ∂/∂𝜉2       ∂/∂𝜉3  ∣   [14.8.4]
                                                          ∣    𝑢1           𝑢2           𝑢3     ∣

II-5 일반 좌표계에서의 적분
    
      a) 변환된 좌표계에서의 이중 적분: 𝑥α = 𝑥α( 𝜉1, 𝜉2 )  α = 1,2
         Cartesian 좌표계에서의 scala field 𝜙(𝑥1, 𝑥2)에 대한 이중 적분은 다음과 같습니다.
         ∬𝐴 𝜙(𝑥1, 𝑥2)𝑑𝑥1𝑑𝑥2 = ∬𝐴̄ 𝜙̄(𝜉1, 𝜉2) 𝐽 𝑑𝜉1𝑑𝜉2,  𝐽 = ∣ ∂(𝑥1, 𝑥2)/∂(𝜉1, 𝜉2) ∣  <- Jacobian   [14.9.1,2]
         ex) 𝜙(𝑥1, 𝑥2) = 1, 극 좌표계에서의 이중 적분 값 구하기: 단, 0<𝜉1<1, 0< 𝜉2<𝜋/2이며, 𝑥1 = 𝜉1 cos 𝜉2, 𝑥2 = 𝜉1 sin 𝜉2  ◂   [14.9.3]
              먼저 Jacobian 𝐽  =  ∣ ∂(𝑥1, 𝑥2)/∂(𝜉1, 𝜉2) ∣ =
                                             ∣  ∂𝑥1/∂𝜉1  ∂𝑥2/∂𝜉1 ∣  = ∣    cos 𝜉2     sin 𝜉2   ∣  =  𝜉1   [14.9.4]
                                             ∣  ∂𝑥1/∂𝜉2  ∂𝑥2/∂𝜉2 ∣     ∣ -𝜉1sin 𝜉2  𝜉1cos 𝜉2 ∣
              Scalar 불변의 법칙[II-3 (c)]에 따라  𝜙̄(𝜉1, 𝜉2) = 𝜙(𝑥1, 𝑥2) = 1 이므로,
              𝐴 = ∬𝐴̄𝜙̄  (𝜉1, 𝜉2) 𝐽 𝑑𝜉1𝑑𝜉2 = ∫0𝜋/201 𝜉1 𝑑𝜉1𝑑𝜉2 = (1/2-0)(𝜋/2-0) =  𝜋/4  ▮   [14.9.5]
      b) 곡면에서의 표면적: 𝑥𝑖 = 𝑥𝑖( 𝜉1, 𝜉2 )  𝑖 = 1,2,3   <- 그림 14.2 참조
          𝑑𝐴 = ∥𝐠1𝑑𝜉1 ⨯  𝐠2𝑑𝜉2∥= ∥𝐠1 ⨯  𝐠2∥𝑑𝜉1𝑑𝜉2,  ∴ 𝐴 = ∬𝐴𝑑𝐴 = ∫𝐴̄∥𝐠1 ⨯  𝐠2∥𝑑𝜉1𝑑𝜉2,  ∥𝐠1 ⨯  𝐠2∥= √ [(𝐠1 ⨯  𝐠2) ∙ (𝐠1 ⨯  𝐠2)]   [14.9.5-8]
          𝐠1 ⨯  𝐠2 = ∂𝐱/∂𝜉1 ⨯ ∂𝐱/∂𝜉2 = (∂𝑥𝑘/∂𝜉1)(∂𝑥𝑙/∂𝜉2) 𝐞𝑘 ⨯ 𝐞𝑙 = 𝑒𝑘𝑙𝑚 (∂𝑥𝑘/∂𝜉1)(∂𝑥𝑙/∂𝜉2) 𝐞𝑚 =
                        ∣       𝐞1        𝐞2        𝐞3       ∣
                        ∣ ∂𝑥1/∂𝜉1 ∂𝑥2/∂𝜉1 ∂𝑥3/∂𝜉1 ∣   [14.9.9]
                        ∣ ∂𝑥1/∂𝜉2 ∂𝑥2/∂𝜉2 ∂𝑥3/∂𝜉2 ∣         
         ex) 구 좌표계에서의 표면적 구하기: 단, 0<𝜉1<𝜋, 0<𝜉2<2𝜋이며, 𝑥1 = 𝑎 sin 𝜉1 cos 𝜉2,  𝑥2 = 𝑎 sin 𝜉1 sin 𝜉2,   𝑥3 = 𝑎 cos 𝜉1  ◂
               𝐠1 = ∂𝐱/∂𝜉1 = 𝑎 cos 𝜉1 cos 𝜉2 𝐞1 + 𝑎 cos 𝜉1 sin 𝜉2 𝐞2 -𝑎 sin 𝜉1 𝐞3,  𝐠2 = ∂𝐱/∂𝜉2 = -𝑎 sin 𝜉1 sin 𝜉2 𝐞1 + 𝑎 sin 𝜉1 cos 𝜉2 𝐞2   [14.9.10]
               𝐠1 ⨯ 𝐠2 =
                           ∣               𝐞1                𝐞1                  𝐞3        ∣
                           ∣ 𝑎 cos 𝜉1 cos 𝜉2   𝑎 cos 𝜉1 sin 𝜉2   -𝑎 sin 𝜉1 ∣   [14.9.11]
                           ∣ -𝑎 sin 𝜉1 sin 𝜉2   𝑎 sin 𝜉1 cos 𝜉2        0       ∣    
                            = 𝑎3(sin 𝜉1)2 cos 𝜉2 𝐞1 + 𝑎2(sin 𝜉1)2 sin 𝜉2 𝐞2 + 𝑎2 sin 𝜉1 cos 𝜉1 𝐞3  →  ∥𝐠1 ⨯ 𝐠2∥ = 𝑎2 sin 𝜉1
               𝐴 = ∬𝐴̄ ∥𝐠1 ⨯ 𝐠2∥ 𝑑𝜉1𝑑𝜉2 = ∫02𝜋0𝜋 𝑎2  sin 𝜉1 𝑑𝜉1𝑑𝜉2 = 𝑎2 {-cos 𝜋 -(-cos 0)}(2𝜋 - 0) = 𝑎2(1+1)2𝜋 = 4𝜋𝑎2  ▮
      c) 곡면에서의 체적  
          𝑑𝑉 = ∥(𝐠1𝑑𝜉1) ∙ (𝐠2𝑑𝜉2) ⨯ (𝐠3𝑑𝜉3)∥= ∥𝐠1 ∙ (𝐠2 ⨯ 𝐠3)∥𝑑𝜉1𝑑𝜉2𝑑𝜉3   [14.9.12]
           𝐽 = ∣ 𝐠1 ∙ (𝐠2 ⨯ 𝐠3) ∣ =  ∣ det (∂𝑥𝑖/∂𝜉𝑗) ∣ = ∣ ∂(𝑥1, 𝑥2, 𝑥2)/∂(𝜉1, 𝜉2, 𝜉3) ∣   [14.9.13]
          𝑑𝑉 = 𝐽 𝑑𝜉1𝑑𝜉2𝑑𝜉3 =  ∣ det (∂𝑥𝑖/∂𝜉𝑗) ∣ 𝑑𝜉1𝑑𝜉2𝑑𝜉3   [14.9.14]
           𝑉 = ∭𝑣 𝑑𝑉 = ∭𝑣 ∣ det (∂𝑥𝑖/∂𝜉𝑗) ∣ 𝑑𝜉1𝑑𝜉2𝑑𝜉3   [14.9.15]
       d) 변환된 좌표계에서의 삼중 적분  
           𝑉 = ∬𝑉 𝜙(𝑥1, 𝑥2, 𝑥2)𝑑𝑥1𝑑𝑥2𝑑𝑥2 = ∬𝑉̄ 𝜙̄(𝜉1, 𝜉2, 𝜉2) 𝐽 𝑑𝜉1𝑑𝜉2𝑑𝜉3,  𝐽 = ∣ ∂(𝑥1, 𝑥2,𝑥3)/∂(𝜉1, 𝜉2,𝜉2) ∣    [14.9.16]
          ex) 구 좌표계의 구 체적 구하기:  0<𝜉1<𝑎, 0<𝜉2<𝜋, 0<𝜉2<2𝜋, 𝑥1 = 𝜉1 sin 𝜉2 cos 𝜉3,  𝑥2 = 𝜉1 sin 𝜉2 sin 𝜉3,  𝑥3 = 𝜉1 cos 𝜉2  ◂   [14.9.17]
               먼저 계산에 필요한 기저 vector들을 다음처럼 구합니다. 𝐠1 = ∂𝐱/∂𝜉1 = sin 𝜉2 cos 𝜉3 𝐞1 +  sin 𝜉2 sin 𝜉3 𝐞2 + cos 𝜉2 𝐞3,  
               𝐠2 = ∂𝐱/∂𝜉2 = 𝜉1cos 𝜉2 cos 𝜉3 𝐞1 + 𝜉1cos 𝜉2 sin 𝜉3 𝐞2 - 𝜉1sin 𝜉2 𝐞3,   𝐠3 = ∂𝐱/∂𝜉3 = -𝜉1sin 𝜉2 sin 𝜉3 𝐞1 + 𝜉1sin 𝜉2 cos 𝜉3 𝐞2   [14.9.18]
               기저 vector의 삼중 내적  𝐽  =  ∣ 𝐠1 ∙ 𝐠2 ⨯ 𝐠3 ∣ =  ∣ det(∂𝑥𝑖/∂𝜉𝑗) ∣ =   
                                                                                           ∣    sin 𝜉2 cos 𝜉3       sin 𝜉2 sin 𝜉3        cos 𝜉2   ∣
                                                                                           ∣  𝜉1cos 𝜉2 cos 𝜉3   𝜉1cos 𝜉2 sin 𝜉3   - 𝜉1sin 𝜉2 ∣  =  (𝜉1)2 sin 𝜉2   [14.9.19]
                                                                                           ∣  -𝜉1sin 𝜉2 sin 𝜉3    𝜉1sin 𝜉2 cos 𝜉3          0      ∣
              𝑉 = ∭𝑉̄  𝐽 𝑑𝜉1𝑑𝜉2𝑑𝜉3 = ∫02𝜋0𝜋0𝑎 (𝜉1)2 sin 𝜉2 𝑑𝜉1𝑑𝜉2𝑑𝜉3 = {(𝑎3/3-0}{-cos 𝜋 - (-cos 0 )} (2𝜋 - 0) = (4/3)𝜋𝑎3  ▮   [14.9.20]

II-6 Differential Geometry(미분기하학)의 응용
      
      a) 곡면에서의 길이: 공간상의 임의의 곡면이 𝐱 =  𝐱(𝜉1, 𝜉2)로 주어진다고 가정하면 그 곡면 상의 한 점에서의 미분 '𝑑𝐱'는 .
          𝑑𝐱 = (∂𝐱/∂𝜉1)𝑑𝜉1 + (∂𝐱/∂𝜉2)𝑑𝜉2 이 되고, 그 곡면 상의 길이 '𝑑s'는 다음과 같이 구할 수 있습니다.   [14.10.1]
          (𝑑𝑠)2 = 𝑑𝐱 ∙ 𝑑𝐱 = (∂𝐱/∂𝜉1) ∙ (∂𝐱/∂𝜉1)(𝑑𝜉1)2 + 2(∂𝐱/∂𝜉1) ∙ (∂𝐱/∂𝜉2)𝑑𝜉1𝑑𝜉2 + (∂𝐱/∂𝜉1) ∙ (∂𝐱/∂𝜉2)(𝑑𝜉2)2
                   = 𝐸(𝑑𝜉1)2 + 2𝐹𝑑𝜉1𝑑𝜉2 + 𝐺(𝑑𝜉2)2  <- 여기서 기본 계수  (following Gauss) 𝐸, 𝐹, 𝐺 는 다음과 같이 정의합니다.   [14.10.2]
            𝐸 =  (∂𝐱/∂𝜉1)(∂𝐱/∂𝜉1) = 𝐠1 ∙ 𝐠1 = 𝑔11,  𝐹 =  (∂𝐱/∂𝜉1)(∂𝐱/∂𝜉2) = 𝐠1 ∙ 𝐠2 = 𝑔12 = 𝑔21,   𝐺 =  (∂𝐱/∂𝜉2)(∂𝐱/∂𝜉2) = 𝐠2 ∙ 𝐠2 = 𝑔22   [14.10.3]        
      b) 곡면에서의 면적(1): 곡면이 𝐱 =  𝐱(𝜉1, 𝜉2)로 주어진 경우  
         𝑑𝐴 = ∥∂𝐱/∂𝜉1 ⨯ ∂𝐱/∂𝜉2∥𝑑𝜉1𝑑𝜉2 = √ [(∂𝐱/∂𝜉1 ⨯ ∂𝐱/∂𝜉2) ∙ (∂𝐱/∂𝜉1 ⨯ ∂𝐱/∂𝜉2)]𝑑𝜉1𝑑𝜉2 = √ (𝐸𝐺 - 𝐹2)𝑑𝜉1𝑑𝜉2  <-  𝐹 = 0   [14.10.4-6]
         ∵ ∂𝐱/∂𝜉𝑖 ↦ 𝐗𝑖; ∣𝐗1 ⨯ 𝐗2∣= ∣𝐗1∣∣𝐗2∣ sin𝜃, 𝐗1 ∙ 𝐗2 = ∣𝐗1∣∣𝐗2∣ cos𝜃, ∣𝐗1 ⨯ 𝐗22 = ∣𝐗12∣𝐗22 sin2𝜃 = ∣𝐗12∣𝐗22 - ∣𝐗12∣𝐗22 cos2 = 𝐸𝐺 - 𝐹2
      c) 곡면에서의 면적(2): 곡면이 𝜉3 = 𝑓(𝜉1, 𝜉2)으로 주어진 경우   [14.10.15]  
         ∂𝐱/∂𝜉1 = (∂𝑥1/∂𝜉𝑖) 𝐞1+ (∂𝑥2/∂𝜉𝑖) 𝐞2+ (∂𝑥3/∂𝜉𝑖) 𝐞3 = 𝐞1+ (∂𝑓/∂𝜉1) 𝐞3; ∂𝐱/∂𝜉2 = (∂𝑥1/∂𝜉2)𝐞1+ (∂𝑥2/∂𝜉2) 𝐞2+ (∂𝑥3/∂𝜉2) 𝐞3 = 𝐞2+ (∂𝑓/∂𝜉2) 𝐞3   [14.10.16]
         𝐸 = (∂𝐱/∂𝜉1) ∙ (∂𝐱/∂𝜉1) = 1 + (∂𝑓/∂𝜉1)2;  𝐹 = (∂𝐱/∂𝜉1) ∙ (∂𝐱/∂𝜉2) = (∂𝑓/∂𝜉1)(∂𝑓/∂𝜉2);  𝐺 = (∂𝐱/∂𝜉2) ∙ (∂𝐱/∂𝜉2) = 1 + (∂𝑓/∂𝜉2)2   [14.10.17]
         𝑑𝐴 = √ (𝐸𝐺 - 𝐹2)𝑑𝜉1𝑑𝜉2 = √ [1 + (∂𝑓/∂𝜉1)2 + (∂𝑓/∂𝜉2)2)]𝑑𝜉1𝑑𝜉2   [14.10.18]
          𝐴 = ∬𝐴 𝑑𝐴 = ∬𝐴̄ = √ [1 + (∂𝑓/∂𝜉1)2 + (∂𝑓/∂𝜉2)2)]𝑑𝜉1𝑑𝜉2   [14.10.19]
      d) 곡면에서의 물리량 적분: ex) flux (流束) 𝜙 = ∬𝐴 𝐯 ∙ 𝐧 𝑑𝐴  <- 그림 14.4 참조    [14.10.20]              
         𝜙 = ∬𝐴 𝐯 ∙ 𝐧 ∥ 𝐠1 ⨯ (𝐠2∥𝑑𝜉1𝑑𝜉2;   𝐍 = 𝐠1 ⨯ (𝐠2, ∥𝐍∥ = ∥𝐠1 ⨯ (𝐠2∥,  𝐧 ≡ 𝐍 /∥𝐍∥   [14.10.21-24]
         𝜙 = ∬𝐴 𝐯 ∙ 𝐧 𝑑𝐴 = ∬𝐴 𝐯 ∙ (𝐠1 ⨯ 𝐠2) 𝑑𝜉1𝑑𝜉2 = ∬𝐴 𝐯 ∙ 𝐍 𝑑𝜉1𝑑𝜉2 = ∭𝑉 𝛁 ∙ 𝐯 𝑑𝑉  <- 발산 정리(divergence theorem) by Gauss   [14.10.25,26]
      e) 기본 계수와 2종 Christoffel 기호: ex) 기본 계수 𝐸, 𝐹, 𝐺의 직교곡선 좌표계에서의 관계식  <- 𝐹 = 𝐠1 ∙ 𝐠2 = 0
          𝜞111 = (∂𝐸/∂𝜉1)/2𝐸,       𝜞112 = (∂𝐸/∂𝜉2)/2𝐸,       𝜞122 = (∂𝐺/∂𝜉1)/2𝐸
          𝜞211 = (∂𝐸/∂𝜉2)/2𝐺,       𝜞212 = (∂𝐺/∂𝜉1)/2𝐺,       𝜞222 = (∂𝐺/∂𝜉2)/2𝐺   [14.10.31]
          그 결과를 보건데, 제2종 Christoffel 기호를 아주 간결하게 표현할 수 있는 것을 알 수 있습니다.
         ex) 기본 계수를 사용하여 원통 좌표계 (𝜉1 = 𝑟, 𝜉2 = 𝜃,  𝜉3 = 𝑧)에서 2종 Christoffel 기호를 구하시오.  ◂
              𝐸 = 𝑔11 = 1,   𝐹 = 𝑔12 = 0,  𝐺 = 𝑔22 = 𝑟2,  ∂𝐸/∂𝜉1 = 0,  ∂𝐸/∂𝜉2 = 0,  ∂𝐺/∂𝜉1 = 2𝑟,  ∂𝐺/∂𝜉2 = 0   [14.10.32,33]
              𝜞111 = (∂𝐸/∂𝜉1)/2𝐸 = 0,       𝜞112 = (∂𝐸/∂𝜉2)/2𝐸 = 0,       𝜞122 = (∂𝐺/∂𝜉1)/2𝐸 = -2𝑟/2 = -𝑟
              𝜞211 = (∂𝐸/∂𝜉2)/2𝐺 = 0,       𝜞212 = (∂𝐺/∂𝜉1)/2𝐺 = 2𝑟/2𝑟2 = 1/𝑟,  𝜞222 = (∂𝐺/∂𝜉2)/2𝐺 = 0  ▮   [14.10.34]

      ...일반 상대성(GR)를 이해하려면 tensor와 Gauss와 Riemann의 미분기하학(Differential Geometry)을 학습해야만 합니다...

p.s.  Tensor에 관하여 처음으로 들어본 것은 1983년 당시 친했던 선배이신 울산공대 토목과 이동근 교수로부터였습니다.
        Stanford 대 토목과 박사과정 유학 시 vector만 아는 상황에서 처음으로 tensor를 힘들게 수강했다는 회고담이었는데...
        무려 35년이상 지난 오늘에서 제가 귀동냥만했던 바로 그 tensor를 스스로 학습하게 될 줄은 정말 몰랐습니다..ㅎ


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