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일반 상대성(GR) 2: Newtonian Theory
    김관석  (Homepage) 2019-09-04 15:20:07, 조회수 : 63
- Download #1 : gr_3_2p.jpg (57.9 KB), Download : 0



3. The Consequences of Einstein Theory*

       Einstein은 중력이 빛을 휘게한다는 사실과, 수성의 近日點 歲差 운동(the procession of perihelion)의 양을 관찰값과 근사하게
       예측하였습니다.(수식으로 다시 나옴.) 추가로, the gravitaional redshift 重力 赤色 偏移 현상도 예측하였습니다.

4. The Universal Law of Gravitation 萬有引力의 法則 <- Table III-1 참조  

     ∘  Johannes Kepler(1571-1630)은 천체적 운동을 기술하기 위해서 오직 원이나 구가 쓰여질 수 있다는 함정에서 마침내 벗어난 아이디어로
        행성 궤도의 세가지 법칙을 발견하였고, Newton이 만유 인력의 법칙을 수학적으로 추론하는 데 큰 영향을 주었습니다. Kepler의 법칙은,
        a. 하나의 행성은 태양이 한 촛점으로 있는 타원 궤도로 태양 주위를 공전한다.
        b. 태양으로부터 행성까지 그린 반경 vector는 일정한 비율로서 면적을 쓸고 지나간다.(같은 시간 동안 쓸고 지나가는 면적은 같다.)
        c. 행성의 주기는 궤도의 장축 길이의 3/2 제곱에 비례한다.

      ∘ Isaac Newton(1642-1727)은 그의 Principia 에서 만유인력(Universal Gravitation)의 법칙을 공포하였습니다.
        우주에 있는 모든 입자는 그 힘이 모든 다른 입자와의 사이의 직선을 따르는 방향과 그들의 질량들의 곱에 비례하며 그들간 거리의
        제곱에 반비례하는 크기가 되는 방식으로 그 입자를 끌어당긴다.

        F = GMm/r2  <- F: magnitude of force, M and m: masses, r: distance of centers, G: gravitational constant 重力常數  (106)
        중력상수 G는 재래식(conventional) cgs 단위계(centimeter, grams, seconds)로는 약 6.67 X 10-8 cm3/(g sec2) 입니다.
      ∘ 지금부터 Chapter II 에서 광속을 길이(cm)로 환산하듯, 무게(g)도 길이(cm)로 바꾸는 geometric units 을 사용합니다. [Table III-1 참조]
        gram to cm conversion factor : G/c2 ≈ 7.425 X 10-29 cm/g  <- 광속 c ≈ 2.9979  X 1010 cm/sec
        예를 들면 달의 질량 M = MconvG/c2 ≈ (1.99 X 1033 g)(7.425 X 10-29 cm/g) ≈ 1.48 X 105 cm  <- conv: coventional unit
        Fconv = GMconvmconv /r2  becomes  F = Mm /r2 in geometric units .

5. Orbits in Newton's Theory <- Figure III-7 참조  

      ∘ Newton의 만유인력의 법칙으로 Kepler의 법칙을 유도합니다. 구대칭인 물체는 중력적으로는 "점 질량"처럼 작용한다고 하였으므로
        𝐗(t) = (x1(t), x2(t), x3(t)): 행성의 위치, r: 태양과 행성의 중심간 거리,  M and m: 태양과 행성의 각각의 질량이 됩니다.[Figure III-7]
        엄격하게는 태양과 행성은 공유한 중력의 중심의 주위를 공전하는 것이지만, 태양의 질량이 행성의 몇배가 되므로 가까운 근사값으로,
        태양이 직교 좌표계의 원점에 고정된 것으로 간주할 수 있습니다.  
        𝐎 = 𝐗 X 𝐗" = (𝐗 X 𝐗")  + (𝐗' X 𝐗')  = d (𝐗 X 𝐗') /dt,   𝐀 = 𝐗 X 𝐗', 𝐗 ∙ 𝐀  =  𝐗 ∙ (𝐗 X 𝐗') = 𝐗' ∙ (𝐗 X 𝐗) = 0
      ∘ 행성은 직교 좌표계에서 x1과 x2축이 형성하는 평면에서 움직입니다. r, 𝜃 는 x1 = r cos 𝜃, x2 = r sin 𝜃 인, 해당하는 극좌표계입니다.
        각각 unit vector인 radial vector 𝐮r과  transvers vector 𝐮𝜃를 𝐮r = (cos 𝜃, sin 𝜃 ),  𝐮𝜃 = (-sin 𝜃, cos 𝜃 )로 정의합니다.
        d𝐮r/d𝜃 = 𝐮𝜃,  d𝐮𝜃/d𝜃 = - d𝐮r; 그러면 𝐗(t) = r𝐮r,  
        𝐗'(t) = dr/dt 𝐮r + r d𝜃/dt  𝐮𝜃  <-  by product rule                                                                                                     (107)
        𝐗"(t) = [d2r/dt2 - r(d𝜃/dt)2]𝐮r + [r (d2𝜃/dt2) + 2 (dr/dt)(d𝜃/dt)] 𝐮𝜃                                                                              (108)
        r2 d𝜃/dt = h (constant)  <- r (d2𝜃/dt2) + 2 (dr/dt)(d𝜃/dt) = 1/r( d/dt (r2 d𝜃/dt)) = 0                                                       (109)
        𝐅 = Mm/r2𝐮r,  𝐗" =  - M/r2𝐮r,  - M/r2= d2r/dt2 - r(d𝜃/dt)2,  - (r2/h2) (d2r/d2) + 1/r) = M/r2                                             (110)(111)(112)(113)
        편의상 new variable u = 1/r을 도입합니다.  du/d𝜃 = - (1/r2) (dr/d𝜃) =  - (1/r2){ (dr/dt )/(d𝜃/dt)} = - (1/h) (dr/dt),  
                                                                    d2u/d𝜃2 = - (1/h) d/dt { (dr/dt) / (d𝜃/dt)} = - (r2/h2) (d2r/dt2)
        d2u/d𝜃2 + u = M/h2  -> 상수 함수 u = M/h2는 자명한 해중 하나임.                                                                              (114)
        d2u/d𝜃2 + u = 0  -> the general soluntion: u = k1cos 𝜃 + k2sin 𝜃.**,  cos(x - y) = cos x cos y + sin x siny                     (115)
        그러므로 u = (1/d) cos (𝜃 - 𝜃0) + M/h2도 하나의 해가 될수 있으며, 또한 만일 d>0, 𝜃0 = 0 이라면 다음의 방정식이 됩니다.
        u = M/h2 (1 + e cos 𝜃)  <- e = h2/(Md),  ed = r(1 + e cos 𝜃) or r = e(d - r cos 𝜃) <- if e<1, it is an ellipse                    (116)(117)(118)
        Cartesian 좌표계로 변환하면, (x + c)2/a2 + y2/b2 = 1,  a= ed/(1 - e2), b = a(1- e2)1/2,  c = ae                                       (119)  
        타원의 면적 𝐀 = 𝜋ab = 𝜋a2(1- e2)1/2,  d𝐀/dt = h/2, a: semi-major axis(긴반지름), b: semi-minor axis(짧은반지름)
        행성의 주기 𝐓 = 2𝐀/h = 2𝜋a2(1- e2)1/2/h, 𝐓 = (2𝜋a2/h)(h/(Ma)1/2 = 2𝜋/M1/2 a3/2 [Kepler's Third Law: 𝐓2 ∝ (2a)3]  ∎

p.s.  Kepler의 법칙의 증명은 여러 방식이 있는데 일반 상대론에 의한 수성 근일점 이동 해석에 관련해 이 방식이 선택된 듯 합니다.    
      * 일반 상대론 검증에 대한 역사적 스토리들은 여러 책들/인터넷 상에 잘 알려져 있으므로 여기서는 생략함.
      ** 이 이차 미분 방정식을 풀기 위해서 아이패드 수학 프로그램 WolframAlpha[강추!]를 사용함.


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