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1. Vectors 벡터
1.1 Definitions (basic) 기본 정의
∘ A vector 는 치수(혹은 크기)와 한 방향(a direction)에 의해 특성화되는 물리적 실체(entity)의 수학적 표현(representaion)이다.
∘ A scalar 는 오직 크기(only magnitude)에 의해서만 특성화되는 물리적 실체(entity)의 수학적 표현(representaion)이다.
∘ A tensor 는 크기와 다중의 방향들(multiple directions)에 의해서 특성화되는 물리적 실체(entity)의 수학적 표현(representaion)이다.
1.2 Cartesian unit vectors 데카르트 단위벡터
∘ Figure 1.4에 도해된 것처럼 데카르트 단위벡터 𝒊, 𝒋, 𝒌 는 좌표계의 원점 와 어떤 위치에나 그려질 수 있음에 주목해야만 합니다.
1.5 Non-Cartesian unit vectors 비데카르트 단위벡터
∘ Figure 1.11에 도해된 것처럼 기둥좌표계에서 점 P는 𝑟, 𝜙, 𝑧에 의해서 표기됩니다. 단위벡터(𝒓, 𝛟, 𝒛)는 오른손 법칙에 따르므로, 오른손
집게손가락으로 𝒓을 따라서 가르키고 오른 손바닥을 𝛟이 증가하는 쪽으로 쥐면 엄지 손가락은 𝒛의 방향을 가르킵니다.
𝑟 = √ (𝑥2 + 𝑦2) 𝜙 = arctan (𝑦/𝑥) 𝑧 = 𝑧 (1.12)
𝑥 = 𝑟 cos(𝜙) 𝑦 = 𝑟 sin(𝜙) 𝑧 = 𝑧 (1.13)
𝒓 = cos(𝜙)𝒊 + sin(𝜙)𝒋 𝛟 = -sin(𝜙)𝒊 + cos(𝜙)𝒋 𝒛 = 𝒛 (1.14)
∘ Figure 1.12에 도해된 것처럼 구면좌표계에서 점 P는 𝑟, 𝜃, 𝜙 에 의해서 표기됩니다. 단위벡터 (𝒓, 𝜽, 𝛟)는 오른손 법칙에 따릅니다.
𝑟 = √ (𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2) 𝜃 = arccos(𝑧/ √ (𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2) ) 𝜙 = arctan (𝑦/𝑥) (1.15)
𝑥 = 𝑟 sin(𝜃)cos(𝜙) 𝑦 = 𝑟 sin(𝜃)sin(𝜙) 𝑧 = 𝑟 cos(𝜃) (1.16)
𝒓 = sin(𝜃)cos(𝜙)𝒊 + sin(𝜃)sin(𝜙)𝒋 + cos(𝜃)𝒌 𝜽 = -cos(𝜃)cos(𝜙)𝒊 + cos(𝜃)sin(𝜙)𝒋 - sin(𝜃)𝒌 𝛟 = -sin(𝜙)𝒊 + cos(𝜙)𝒋 (1.17)
1.6 Basis vectors 기저벡터
∘ 삼차원의 경우에서 세개의 기저벡터가 다른 두개와 동일평면상(coplanar)이 아닌 한 적절한 척도구성(scaling)과 결합을 통해서 공간상의
어떤(any) 점이라도 표현할 수 있으므로 𝐞1, 𝐞2, 𝐞3 vector들은 완벽히 사용가능한 기저 집합을 형성합니다. (수학자들은 그들이 벡터공간을
"생성(span)"한다고 말합니다.) 우리는 이들이 "선형독립(linearly independenr)"이 되도록 함으로써 동일평면상에 있지 않도록 확인할 수
있습니다. 바꾸어 말하면, 만일 A = B = C = 0 이라면, 선형독립인 세 vector들을 위한 다음 방정식이 참일 수 있는 것입니다.
A𝐞1 + B𝐞2 + C𝐞3 = 0 (1.18)
∘ 가장 일반적인 것은 𝒊, 𝒋, 𝒌 같은 "정규수직인(orthonormal)" 기저들입니다. 이들은 서로 직교하기 때문에 "수직(ortho)"이라고 하며, 단위
크기로 정규화되었음으로 "정규(normal)"라고 부릅니다.
∘ 마지막 사실은 하나의 좌표계의 축들을 가르키는 기저벡터들을 편미분을 사용함으로써 다른 좌표계로 기술할 수 있다는 것입니다. 특히,
구면에서 직교 좌표계로 변환한다고 상상하십시요. 원래 구면 (𝑟), (𝜃), (𝜙)축을 따르는 기저벡터는 데카르트 (𝑥, 𝑦, 𝑧) 좌표계에서 각각
𝐞𝑟 = (∂𝑥/∂𝒓)𝒊 + (∂𝑦/∂𝒓)𝒋 + (∂𝑧/∂𝒓)𝒌 = sin(𝜃)cos(𝜙)𝒊 + sin(𝜃)sin(𝜙)𝒋 + cos(𝜃)𝒌
𝐞𝜃 = (∂𝑥/∂𝜃)𝒊 + (∂𝑦/∂𝜃)𝒋 + (∂𝑧/∂𝜃)𝒌 = -𝑟cos(𝜃)cos(𝜙)𝒊 + 𝑟cos(𝜃)sin(𝜙)𝒋 - 𝑟sin(𝜃)𝒌
𝐞𝜙 = (∂𝑥/∂𝜙)𝒊 + (∂𝑦/∂𝜙)𝒋 + (∂𝑧/∂𝜙)𝒌 = -𝑟sin(𝜃)sin(𝜙)𝒊 + 𝑟sin(𝜃)cos(𝜙)𝒋 관계식이 됩니다.
∘ 일반적으로, 원래 시스템의 좌표들을 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3라고 부르고, 새 시스템의 좌표를 𝑥'1, 𝑥'2, 𝑥'3라 하면 원래 좌표축을 따르는 기저벡터들은
새 시스템으로 다음과 같이 쓰여 집니다.(이 관계식은 좌표계 변환과 tesor 해석에서 지극히 유용하니 기억하여야 합니다.)
𝐞1 = (∂𝑥'1/∂𝑥1)𝐞'1 + (∂𝑥'2/∂𝑥1)𝐞'2 + (∂𝑥'3/∂𝑥1)𝐞'3
𝐞2 = (∂𝑥'1/∂𝑥2)𝐞'1 + (∂𝑥'2/∂𝑥2)𝐞'2 + (∂𝑥'3/∂𝑥2)𝐞'3
𝐞3 = (∂𝑥'1/∂𝑥3)𝐞'1 + (∂𝑥'2/∂𝑥3)𝐞'2 + (∂𝑥'3/∂𝑥3)𝐞'3
2. Vectors Operations 벡터 연산 [주로 기존 설명에서 누락된 특별한 사항을 발췌해서 기술함.]
2.1 Scalar product 스칼라곱/내적 : 𝐀 ∘ 𝐁 = ∣𝐀∣∣𝐁∣ cos 𝜃 = 𝐴x𝐵x + 𝐴y𝐵y + 𝐴z𝐵z 𝜃 = arccos{(𝐴x𝐵x + 𝐴y𝐵y + 𝐴z𝐵z)/∣𝐀∣∣𝐁∣} (2.3/2.4)
2.2 Cross product 벡터곱/외적 : 𝐀 ⨯ 𝐁 = (𝐴y𝐵z - 𝐴z𝐵y)𝒊 + (𝐴z𝐵x - 𝐴x𝐵z)𝒋 + (𝐴x𝐵y - 𝐴y𝐵x)𝒌 ∣𝐀 ⨯ 𝐁∣ = ∣𝐀∣∣𝐁∣ sin 𝜃 (2.5/2.8)
2.3 Triple scalar product 스칼라삼중적 : 𝐀 ∘ (𝐁 ⨯ 𝐂) = 𝐴x(𝐵y𝐶z - 𝐵z𝐶y) + 𝐴y(𝐵z𝐶 - 𝐵x𝐶z) + 𝐴z(𝐵x𝐶y - 𝐵y𝐶x) (2.12)
2.4 Triple vector product 벡터삼중적 : 𝐀 ⨯ 𝐁 ⨯ 𝐂 = 𝐁(𝐀 ∘ 𝐂) - 𝐂(𝐀 ∘ 𝐁) (2.14) <- 편의상 "BAC mnus CAB"라고 기억함
2.5 Partial derivatives 편도함수 : 만일 함수 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦)이면서 변수 𝑥, 𝑦 가 또다시 변수 𝑢, 𝑣 에 따라서 변하는 함수일 경우에는
∂𝑧/∂𝑢 = (∂𝑧/∂𝑥)(∂𝑥/∂𝑢) + (∂𝑧/∂𝑦)(∂𝑦/∂𝑢) ∂𝑧/∂𝑣 = (∂𝑧/∂𝑥)(∂𝑥/∂𝑣) + (∂𝑧/∂𝑦)(∂𝑦/∂𝑣) (2.25,25) <- 연쇄법칙(chain rule)을 적용
2.6 Vectors as derivatives 도함수으로서의 벡터 : 매개변수 시간 𝑡에 따라서 곡선의 경로를 따라 속도 𝐯로 여행을 한다고 생각하면,
∂/∂𝑡 = (∂𝑥/∂𝑡)(∂/∂𝑥) + (∂𝑦/∂𝑡)(∂/∂𝑦) vector = 𝑥-component ∙ 𝑥-basis vector + 𝑦-component ∙ 𝑦-basis vector (2.28)
∂/∂𝑡: 방향연산자, 곡선에 대한 접벡터(tangent vector) ∂𝑥/∂𝑡, ∂𝑦/∂𝑡: 𝑥-, 𝑦- 성분, ∂/∂𝑥, ∂/∂𝑦: 기저벡터(basis vectors)가 됩니다.
2.7 Nabla - the del operator 델연산자 : vector 미분 연산자인 델연산자는 그 작용하는 곳에서 도함수(derivative)를 구하게 지시합니다.
𝛁 ≡ 𝒊(∂/∂𝑥) + 𝒋(∂/∂𝑦) + 𝒌(∂/∂𝑧). <- 𝒊, 𝒋, 𝒌: 데카르트 좌표인 경우 𝑥, 𝑦, 𝑧 방향으로의 단위벡터
2.8 Gradient 기울기 : 델연산자가 스칼라장 앞에 올 때 연산자의 결과를 "스칼라장의 기울기"(gradient of the field)라고 부릅니다.
𝛁 𝜓 ≡ 𝒊(∂𝜓/∂𝑥) + 𝒋(∂𝜓/∂𝑦) + 𝒌(∂𝜓/∂𝑧) (데카르트좌표) (2.29) <- grad(𝜓) = 𝛁 𝜓 이하 같음
𝛁 𝜓 ≡ 𝒓(∂𝜓/∂𝑟) + 𝛟 (1/𝑟)(∂𝜓/∂𝜙) + 𝒛(∂𝜓/∂𝑧) (원기둥좌표) (2.31)
𝛁 𝜓 ≡ 𝒓(∂𝜓/∂𝑟) + 𝜽 (1/𝑟)(∂𝜓/∂𝜃) + 𝛟 (1/𝑟sin𝜃) (∂𝜓/∂𝜙) (구면좌표) (2.32)
2.9 Divergence 발산 : 벡터장을 다룰 때에, 점 앞의 델연산자(𝛁 ∘)는 "벡터장의 발산"(divergence of a vector field)을의미합니다.
Figure 2.13은 다음의 내용을 도해한 것입니다. Figure 2.13(a): 𝐀 = 𝑟2𝒓, 𝛁 ∘ 𝐀 = 4𝑟; Figure 2.13(b): 𝐀 = (1/𝑟2)𝒓, 𝛁 ∘ 𝐀 = 0.
𝛁 ∘ 𝐀 = (∂𝐴x/∂𝑥 + ∂𝐴y/∂𝑦 + ∂𝐴𝑧/∂𝑧) (데카르트좌표) (2.34)
𝛁 ∘ 𝐀 = (1/𝑟){∂ (𝑟𝐴𝑟)/∂𝑟} + (1/𝑟)(∂𝐴𝜙 /∂𝜙) + ∂𝐴𝑧 /∂𝑧) (원기둥좌표) (2.36)
𝛁 ∘ 𝐀 = (1/𝑟2){∂ (𝑟2𝐴𝑟)/∂𝑟} + (1/𝑟sin𝜃)(∂𝐴𝜃sin𝜃)/∂𝜃 + (1/𝑟sin𝜃) (∂𝐴𝜙 /∂𝜙) (구면좌표) (2.37)
2.10 Curl 회전 : 𝛁 ⨯는 회전(curl)의 미분 연산을 의미하며, "벡터장의 회전"은 장이 한점 주변을 도는 장의 경향을 측정합니다.
𝛁 ⨯ 𝐀 = (∂𝐴z /∂𝑦 - ∂𝐴y /∂𝑧)𝒊 + (∂𝐴x /∂𝑧 - ∂𝐴z /∂𝑥)𝒊 + (∂𝐴y /∂𝑥 - ∂𝐴x /∂𝑦)𝒌 (데카르트좌표) (2.40)
𝛁 ⨯ 𝐀 = {(1/𝑟)∂ 𝐴z /∂𝜙 - ∂𝐴𝜙 /∂𝑧}𝒓 + (∂ 𝐴𝑟 /∂𝑧 - ∂𝐴z /∂𝑟}𝛟 + (1/𝑟){∂ (𝑟𝐴𝜙)/∂𝑟 - ∂𝐴𝑟 /∂𝜙}𝒛 (원기둥좌표) (2.41)
𝛁 ⨯ 𝐀 = (1/𝑟sin𝜃){∂ (𝐴𝜙sin𝜃)/∂𝜃 - ∂𝐴𝜃 /∂𝜙}𝒓 + {(1/sin𝜃)∂ 𝐴𝑟 /∂𝜙 - ∂(𝑟𝐴𝑟) /∂𝑟}𝜽 + (1/𝑟){∂ (𝑟𝐴𝜃)/∂𝑟 - ∂𝐴𝑟 /∂𝜃}𝛟 (구면좌표) (2.42)
2.11 Laplacian 라플라스 작용소 : 𝛁2𝜙(= 𝛁 ∘ 𝛁𝜙)로 쓰는 "스칼라함수의 기울기의 발산"은 대수학자 라플라스를 기리는 이름을 갖습니다.
Figure 2.17: 원점 주위 지역을 고려하면, 함수 𝜙가 𝜙0와 관련해서 축 방향으로 "변화 속의 변화"(change in the change)를 알 수 있습니다.
값이 1/𝑟인 함수는 Figure 2.19 (a) "극대"(local maximum)인 꼭대기 모양, (b) 기울기 벡터들이 꼭대기로 "흐르는"(flow) 지형입니다.*
𝛁2𝜓 = ∂2𝜓/∂𝑥2 + ∂2𝜓/∂𝑦2 + ∂2𝜓/∂𝑧2 (데카르트좌표) (2.45)
𝛁2𝜓 = (1/𝑟)∂/∂𝑟(𝑟∂𝜓/∂𝑟) + (1/𝑟2)∂2𝜓/∂𝜙2 + ∂2𝜓/∂𝑧2 (원기둥좌표) (2.51)
𝛁2𝜓 = (1/𝑟2)∂/∂𝑟(𝑟2/∂𝜓/∂𝑟) + (1/𝑟2sin𝜃)∂/∂𝜃(sin𝜃 ∂𝜓/∂𝜃) + (1/𝑟2sin2𝜃)∂2𝜓/∂𝜙2 (구면좌표) (2.52)
p.s. 'A Student's Guide to Vectors and Tensors'(Daniel A. Fleisch 2012, Cambridge University Press) Chapter 1과 2 내용입니다.
앞에서 같은 저자의 'A Student's Guide to Maxwell's Equations'(2008) 내용도 소개한 바 있는데, 자세하고 쉽게 설명하고 있습니다.
제가 뒤늦게 수리물리학을 학습하는 까닭에 vector와 tensor에 대해서 기초에서부터 시작하는 것이 필요하다고 여겨서입니다..ㅎ
* 𝛁2𝜙 = 1/𝑟 함수는 𝑟 = 0 일때는 ∞ 문제가 있으므로, 미분이 아닌 적분 기법의 'Dirac delta 함수'로 특별히 처리하다고 ... |
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